Til hvers eru ræðar tölur? (framhald af síðasta pósti)

Einu sinni var ég spurður „til hvers eru ræðar tölur?“ Hópur nemenda (á háskólastigi) hafði verið að læra um ræðar og óræðar tölur (en ekki hjá mér), og ég hafði boðið nemendum að spyrja að einhverju um stærðfræði – hverju sem er.

Ég túlkaði spurninguna þannig, að einhverjir nemenda hefðu ekki séð mikla merkingu eða tilgang í þeirri stærðfræði sem fjallar um muninn á ræðum og óræðum tölum. Ræðar tölur eru allar þær tölur sem skrifa má sem almennt brot tveggja heiltalna. Til dæmis eru \frac{1}{2} og \frac{3}{4} ræðar tölur, og líka allar heilar tölur, til dæmis 5, vegna þess að til dæmis 5=\frac{5}{1}. Þær tölur sem ekki eru ræðar kallast óræðar. Að óathuguðu máli virðist ekkert benda til annars en að allar tölur séu ræðar tölur. Enda töldu grískir spekingar í fornöld að svo hlyti að vera – þangað til annað kom í ljós. (Og „sagan segir“ að uppgötvarinn hafi verið tekinn af lífi í refsingarskyni.)

Nú kemur ein spurning sem ég lét nemendur mína í framhaldsskóla fá til að svara heima:

Reiknið  \frac{665857}{470832} á reiknivél. Getur verið að  \frac{665857}{470832}=\sqrt{2}?

Lesendur geta slegið þetta inn í reiknivél eða bara google, og borið saman hvað tölvan segir um  \frac{665857}{470832} og \sqrt{2}.

Staðreyndin er að til eru ræðar tölur sem hafa sömu tölustafi og \sqrt{2} í fyrstu trilljón sætunum og reyndar miklu fleiri, eins mörgum og maður vill, og fleiri en hægt væri að geyma á öllum hörðum diskum veraldar.

Mig langar að reyna að halda þræði frá síðustu færslu: Ef ég deili mælieiningunni (1) í b jafna búta (þetta orðalag þýðir að ég tákna fjölda bútanna með bókstafnum b) verður lengd hvers og eins bútar \frac{1}{b}. Ef ég legg svo saman a slíka búta fæ ég lengdina a \cdot \frac{1}{b}=\frac{a}{b}. Svo ef lengdirnar 1 og \sqrt{2} eru sammælanlegar er til ræð tala \frac{a}{b} þannig að \frac{a}{b}=\sqrt{2}.

Hugsum okkur að \sqrt{2}=\frac{a}{b} þar sem a og b eru heilar tölur (og b er ekki 0) og að brotið sé fullstytt.

  • Með því að hefja báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi fæst jafnan 2=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
  • Margföldun beggja hliða jöfnunnar með b^{2} gefur að 2 \cdot b^{2}=a^2.
  • Það sýnir að a^2 er jöfn (= slétt) tala (vegna þess að í vinstri hlið jöfnunnar er einhver stærð margfölduð með 2.)
  • Þar með er ljóst að a er líka jöfn tala því ef hún væri oddatala væri a^2 líka oddatala (oddatala margfölduð með sjálfri sér er áfram oddatala)
  • Fyrst a er jöfn tala, má rita a=2c þar sem c er einhver heil tala. (Jöfn tala þýðir nákvæmlega þetta: hún er einhver tala sinnum 2).
  • Því er 2b^2=a^2=(2c)^2=4c^2, og ef við deilum með 2 báðu megin jafnaðarmerkisins fæst jafnan b^2=2c^2. En það sýnir að b er líka jöfn tala.
  • Niðurstaðan af þessu er: bæði a og b eru jafnar tölur og hafa því sameiginlega þáttinn 2.
  • Það er mótsögn við þá forsendu að brotið væri fullstytt. Svo \sqrt{2} er þá ekki ræð tala.

Nú skrifaði ég efnisgreinina hér að ofan eins og mér hefði bara dottið þetta í hug. En ég var að endurnýta röksemdafærslu sem ég hef oft séð, fara með hana með mínum eigin orðum. Hún er mjög svipuð þeirri sem stendur í Málsvörn stærðfræðings eftir Godfrey Hardy (til í íslenskri þýðingu Reynis Axelssonar). Eftir að ég afritaði sönnunina úr öðru eldra skjali og lagaði til, fór ég og fletti henni upp. En til eru miklu eldri sannanir. Ég eyddi allnokkrum tíma í að leita uppi heimildir til að staðfesta það sem ég hélt – að sönnunin hér að ofan væri ættuð úr Frumþáttum Evklíðs (frá um 300 fyrir Krist). Það reyndist rangt, eins og flest sem maður heldur um söguleg efni, tilvitnanir í fræga menn og þess háttar.

„Sagan segir“ að uppgötvun óræðra talna hafi verið mikið áfall fyrir heimsmynd hinna forn-grísku spekinga sem höfðu áður talið að alla hluti heimsins mætti mæla með sama mælikvarða. Minnst er á ósammælanleika stærða í samræðu Platóns, Þeætetus (sem er eldri en Frumþættir Evklíðs).

Einhverjir lesendur hafa sjálfsagt átt erfitt með að lesa þessa röksemdafærslu vegna þess að þeir eru óvanir þessum rökfærslustíl, þessari tegund af orðræðu sem tilheyrir stærðfræðilegum sönnunum. Kannski hafa margir sleppt því að lesa hana.

Eitt og annað í þessu krefst umhugsunar auk skilnings á því hvernig tákn og tungumál er notað. Það er mögulegt að útskýra meira og í meiri smáatriðum. Til dæmis: hvers vegna er öruggt að oddatala margfölduð með sjálfri sér verði oddatala? „Trikkið“ er að nota sér nákvæmlega hvað oddatala er: tala sem er einum hærri (eða lægri) en einhver slétt tala. Hana má því skrifa á forminu 2 \cdot n+1 þar sem n er einhver hel tala (til dæmis er 37=2 \cdot 18+1. Margföldum töluna með sjálfri sér:

(2n+1) \cdot (2n+1)=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1.

Útkoman er 2 sinnum einhver tala plús einn – það er oddatala.

Ég hef nú sett fram eina sönnun á því að \sqrt{2} er ekki ræð tala (til eru margar aðrar sannanir, hér eru 19). Það þýðir að til eru ósammælanlegar lengdir. Rifjum upp að þessi staðreynd hefur engar afleiðingar fyrir mælingar á raunverulegum hlutum – það er hægt að mæla lengdir með nógu mikilli nákvæmni til allra nota. Raunverulegar lengdir eru ekki mældar nákvæmlega, því enginn „óendanlega nákvæmur“ mælikvarði er til.

Mér sýnist tvennt gera þetta efni „óskiljanlegt“ – fyrir utan tæknilega erfiðleika við að fylgja rökstuðningnum:

  • Ríkjandi orðræður um skólanám fela í sér að námið eigi að vera hagnýtt fyrir einstaklinga og samfélag. Stundum er talað um að námið eigi að nýtast beint við störf (samkeppnishæft vinnuafl) eða í einhverjum praktískum verkefnum sem fólk fæst við í lífinu eða verðmætasköpun.
  • Ríkjandi orðræður um veruleikann, bæði samkvæmt „almennri skynsemi“ og raunvísindum fela í sér „nálgunarstærðfræði“ – gert er ráð fyrir því að mælingar séu „nógu góðar nálganir“ (sjá síðustu færslu). Í þeirri stærðfræði skiptir engu máli hvort hægt sé að skrifa ferningsrótina af 2 sem almennt brot eða ekki, fyrst það er hægt að skrifa og nota 10 eða 10.000 rétta aukastafi.

Tilvist óræðra talna er mögnuð og óvænt staðreynd um veruleikann eða hugsun okkar um veruleikann (eftir því hvaða skoðun við höfum á því í hvaða skilningi tölur eru til). Hún er gersamlega óhrekjanleg afleiðing af því hvernig við tölum um lengdir, tölur og flatarmál. En hún hefur engar beinar praktískar afleiðingar. (Annað mál er að óræðar tölur (í samhengi við talnakerfi yfirleitt) skipta miklu máli fyrir stærðfræði, þar með talið kenningar sem liggja til grundvallar mörgum öðrum vísindum og aðferðum sem beitt er þar). Ef hugmyndin er að kynna nemendur fyrir „mestu andlegu afrekum mannkyns“ eða „dýpstu þekktu staðreyndunum um heiminn“, eða bara stærðfræði, er góðra gjalda vert að hafa þetta í námskrá. Hitt er svo annað mál hvernig nemendur eiga að nálgast efnið – það að kynna það, svipað og hér var gert, er ekki endilega vænlegt til árangurs.