Til hvers að læra þetta?

Ein af elstu fræðilegu niðurstöðum stærðfræðinnar er að til séu ósammælanlegar stærðir. Þessi uppgötvun er oft eignuð Pýþagórasi og hún er að minnsta kosti tvö þúsund og fimm hundruð ára gömul. Hvað á ég við með ósammælanlegar stærðir? Það sem átt er við með því er að ef ég get mælt eina stærðina sem heilan fjölda einhverrar mælieiningar, þá er ekki hægt að mæla hina stærðina með heilum fjölda sömu mælieiningar. Til dæmis: ef ég get mælt eina stærðina (A) í heilum sentímetrum, þá gæti ég ekki mælt hina (B) í heilum sentímetrum. En hér kemur magnaðasti punkturinn: það breytir engu þó að maður skipti mælieiningunni upp. Til dæmis: ef maður getur mælt A í heilum fjölda sentímetra, þá getur maður líka mælt í heilum fjölda millímetra, míkrómetra, nanómetra, og svo framvegis. En það er alveg sama hversu smáa mælieiningu maður velur – ef A og B eru ósammælanlegar er alls engin mælieining til sem gefur heila tölu í mælingu fyrir bæði A og B.

Brot úr handriti frá 888 á Frumþáttum Evklíðs, setning 10.7, um ósammælanlegar stærðir. Sjá hér

Eitt af því sem ef til vill kann að vera áhugavert að taka fram er að þetta hefur ekkert að gera með raunverulegar mælingar á áþreifanlegum hlutum eða rými, og er alls ekki tengt því að stundum mælum við í heilum sentímetrum og stundum „með kommum“. Niðurstaðan er algjörlega fræðileg og tengist uppbyggingu efnisheimsins ekki neitt – nema ef til vill að því leyti að hún útilokar að til sé mælikvarði sem gefur sérhverju línustriki vel skilgreinda lengd í formi heillar tölu (eða almenns brots: ef hægt er að mæla lengd sem almennt brot, eins og 1/1000, gætum við einfaldlega minnkað mælieininguna, gert hana þúsund sinnum minni.)

Þegar við mælum raunverulega hluti, erum við aldrei að reyna að finna hina einu sönnu mælitölu. Þegar ég segist vera 188 cm á ég við (kannski án þess að „átta mig á því“) að ég sé nær því að vera 188 sentímetrar en að vera 187 eða 189 sentímetrar. Ég gæti líka átt við að ég væri nær því að vera 188,0 cm en að vera 187,9 cm eða 188,1 cm. Og svo framvegis. En það má yfirleitt alltaf finna minni („nákvæmari“) einingar, sterkari smásjár og svo framvegis. Stærðfræðilega niðurstaðan segir: engin mælieining er nokkurn tíma nógu lítil til að þú „hittir“ alveg nákvæmlega á endanlega tölu. Eðlisfræðin hefur svo aðrar skýringar og hugtök til að fjalla um svona mál.

Það sem er áhugaverðast fyrir mig við þessa fræðilegu staðreynd er að hana má sanna. Út  frá að því er virðist augljósum forsendum um eðli rúms og mælinga fáum við niðurstöðu sem er eiginlega andstæð almennri skynsemi. Og nú skoðum við þetta (loksins!):

Hugsum okkur að við höfum einingu, strik sem hefur lengdina 1. Við teiknum ferning með hliðarlengdina 1. Flatarmál þessa fernings er 1.

Teiknum hornalínu í þessum ferningi. Hún skiptir ferningnum í tvo jafnstóra þríhyrninga. En hver er lengd hornalínunnar? Til þess að átta okkur á því, framlengjum við hliðar ferningsins, og teiknum hornalínur, eins og á þessari mynd:

Spurning: Hver er lengd rauðu línustrikanna, sem eru hornalínur fernings sem hefur hliðarlengdina 1?

Ef til vill dettur einhverjum í hug að nota reglu Pýþagórasar. Í þessu tilfelli viljum við ekki gera það, vegna þess að það er flóknara að sýna fram á að sú regla sé sönn en að sanna okkar niðurstöðu hér. Lykilatriðið hér er að beina athyglinni að flatarmálum. Hvert er flatarmál rauða ferningsins samanborið við upphaflega ferninginn?

Engin þörf er á að reikna neitt, aðeins beina athyglinni í vissa átt. Það má lýsa því í orðum en ég held að þeir sem horfa á myndina í svolitla stund geti þá séð og útskýrt að rauði ferningurinn er nákvæmlega tvöfaldur að umfangi, eða með öðrum orðum, þá er flatarmál hans 2. Ef við gefum okkur nú að við vitum að reikna má flatarmál fernings með því að margfalda hliðarlendirnar saman komumst við að þeirri niðurstöðu að ef við margföldum lengd hornalínustriks með sjálfri sér, fáum við 2. Á nútímatáknmáli: ef lengd línustriksins er x   vitum við að x·x = 2. Þetta þýðir, einnig á nútímatákmáli, að x er ferningsrótin af 2, oft táknað  x = \sqrt{2} .


Það sem kemur svo í ljós í framhaldinu er að þessi „stærð“ er ósammælanleg við lengd upphaflega ferningsins, það er, tölurnar 1 og ferningsrótin af 2 eru ósammælanlegar.

Megininntak þessa texta er einungis að sýna fram á að ef hugtökin lengd og flatarmál hafa þá merkingu sem við leggjum í þau orð hversdagslega þá er til tala x sem um gildir að x·x = 2. Venja er að kalla þá tölu „ferningsrótina af tveimur“ eða „kvaðratrótina af tveimur“, einmitt vegna þess að hún mælir hliðarlengd fernings með flatarmálið 2. Nútíma lesanda þykir ef til vill augljóst að slík tala sé til, við erum svo vön því að tala þannig. En tilvist hennar hefur einmitt þá óvæntu röklegu afleiðingu að við getum fullyrt um tilvist ósammælanlegra stærða. (Sem með öðru orðalagi þýðir að til eru óræðar tölur.)

En ég hef ennþá ekkert rökstutt þetta, og ég læt það bíða næstu færslu, ásamt frekari pælingum um það hvað þetta þýðir: í skilningi stærðfræðinnar, fyrir skóla, námskrár og samfélag…