Einfaldar spurningar, óvænt svör

Þessa spurningu sá ég í grein eftir John Mason í dag:

Af 200 hlutum eru 98% af einni gerð. Hve marga slíka hluti þarf að fjarlægja til þess að 96% hlutanna verði af þeirri gerð?

Hverskonar svar dettur manni fyrst í hug? Segjum að við skjótum á eitthvað um-það-bil. Ég var mjög langt frá!

Stærðfræðikennsla gæti byggst meira eða minna á spurningum sem þessum, sem vekja undrun, og krefjast þess að við höfum raunverulega stærðfræði á valdi okkar, eða finnum hana út. (Hér er aðeins um basic bókstafareikning að ræða, nú eða einhverskonar háþróaða hlutfallahugsun.)

Andstæðan eru verkefni þar sem lausnin er augljós með eða án stærðfræði, eða vekur engan áhuga.

Brot af vinnu kennara

Nýtt vinnumat framhaldsskólakennara var fellt. Um það má margt segja, en það verður ekki hér. Hér eru tveir hlutir sem ég hef unnið að og búið til, sem virðist ekki gert ráð fyrir að ég geri samkvæmt kjarasamningi, því tíminn sem það tekur að búa svona til er svo sannarlega miklu meiri en 20 mínútur „á kennslustund“. Inn í vinnumatið er nefnilega ekki tekið framleiðsla á námsefni, þróun nýjunga, eða annað slíkt. Ég birti þetta hér ef einhver skyldi vilja nota þetta, eða fá hugmyndir af því að sjá þetta.

1. Mannfjöldi á Íslandi

Þetta er búið til á vefsíðunni Desmos. Í skjalinu er tafla yfir mannfjölda á Íslandi samkvæmt Hagstofunni. Einnig er þar vísisfall með stikum sem hægt er að breyta, og annað fall sem er línufall. Hægt er að sjá og fela föllin með því að smella á hringina vinstra megin við þau.

Hægt er að nota tölurnar til að æfa einfaldan prósentureikning (hve mikið fjölgaði Íslendingum á árabilinu ….?) eða „flóknari“ prósentureikning (um hve mörg prósent fjölgaði Íslendingum að meðaltali á árabilinu …?) eða til að kynna vísisvöxt og vísisföll og það að finna stærðfræðilegt líkan (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?)

2. Hitastig í Reykjavík

Í skjalinu er tafla yfir mánaðarlegt meðalhitastig í Reykjavík samkvæmt Veðurstofunni, frá 1. janúar 2011 til 1. janúar 2015. Einnig er þar sínusfall með stikum sem hægt er að breyta.

Hægt er að nota tölurnar til að kynna það að finna stærðfræðilegt líkan af lotubundum fyrirbærum með hornaföllum (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?) Hér er ekkert farið út í flóknari líkön sem gætu virkað betur (bæta við fleiri bylgjum ofan á), en þó er þetta dæmi um eitthvað þar sem þarf annað en línulegt, veldis- eða vísisfall.

 

Þrautir í uppáhaldi

Ég geri hlé á póstunum 100 um úttektina á stærðfræði í framhaldsskólum til að kynna nokkrar af uppáhaldsþrautum föður míns heitins. Hann var lögfræðingur að mennt en kenndi stærðfræði í nokkur ár og hafði sérstakt uppáhald á nokkrum þrautum.

Fyrst er ein sem hefur marga eiginleika góðrar þrautar. Ég lendi alltaf í vandræðum með hvað ég eigi að segja um hana, því ég vil ekki taka ánægjuna af þeim vilja reyna við hana.

„Það er glas af víni og glas af vatni. Þú tekur matskeið af víni og setur í vatnið. Hrærir og setur matskeið af (vínblönduðu) vatni aftur í vínglasið. Hvort er nú meira vatn í víninu eða vín í vatninu?“

Þá kemur sú sem ég man eftir að pabbi sagði norskum verkfræðingi, sem fór með hana óleysta á einhverja ráðstefnu. Samkvæmt sögunni varð næsta lítið úr ráðstefnunni vegna þess að allir verkfræðingarnir gátu ekki hugsað um annað en að leysa þrautina, sem ég klippi hérna út úr gömlu íslensku blaði:

Þraut_12_kúlur

Ég hef stundum lagt þetta fyrir langt komna nemendur í framhaldsskóla, og sumir þeirra fá þrautina alveg á heilann.

Þriðja þrautin er eins og úr þjóðsögu:

prestur_djakniÞessi er skemmtilega lúmsk.

Síðasta þrautin er svo úr Algebru eftir Ólaf Daníelsson, en verkefnin úr þeirri bók eru alræmd.

Gullfoss

Það má læra margt af því að glíma við þessar þrautir, og þær eru að mínu mati allar eins konar brandarar um leið, kitlandi fyndnar, sumar vegna lausnanna, aðrar vegna orðunar þrautarinnar, nema hvort tveggja sé. Taka ber fram að fyrir aðra en þrautþjálfaða er ekki hægt að ætlast til að það taki stuttan tíma að leysa þær. Eðlilegt er að þetta taki nokkra daga.

Að lokum er hér ein gömul íslensk gáta sem pabbi fór stundum með og mér finnst líka yndisleg og dýpri en við fyrstu sýn.

Hvað sérðu bjartara en brúnt hross í haga?

Margliðudeiling: til hvers?

Í síðustu viku var ég að „kenna margliðudeilingu“. Ég set gæsalappir utan um vegna þess að mér finnst óþægilegt að tala um „að kenna“ eitthvert hugtak eða aðferð þegar ég á við að ég hafi sýnt nemendum hugtak eða aðferð og svo fengið þá til þess að æfa sig í notkun á því með því að reikna kennslubókardæmi. Ég hallast að þeirri skoðun, eins og flestir fræðimenn í stærðfræðimenntun, að yfirleitt sé skynsamlegra að láta aðferðirnar verða til (í samræðu, glímu við verkefni, vísbendingum) við það að nemendur kljást við einhverja spurningu (eða spurningar) sem eru áhugaverðar í sjálfu sér og raunverulegar fyrir nemendum. Auðvitað er misjafnt hvað vekur áhuga og það er líka misjafnt hvað er raunverulegt fyrir manneskju. Tölur og aðrir stærðfræðilegir hlutir geta til dæmis verið raunverulegir ef þeir eru hluti af persónulegum merkingarvef manneskju. En það er mjög sjaldgæft að fólki finnist áhugavert að læra að nota hugtak/aðferð ef það tengist engu öðru í þeirra reynsluheimi. Ef hinsvegar hugtakið/aðferðin er kynnt eða leidd fram sem rökrétt leið til þess að leysa einhverja raunverulega spurningu, þá fyrst svarar námið einhverrri (vitsmunalegri) þörf hjá nemandanum.

Af þessum ástæðum finnst mér ekki skynsamlegt að „kenna margliðudeilingu“ ef slík vitneskja svarar engri vitsmunalegri þörf hjá nemendum. (Hið sama á við um öll stærðfræðihugtök.) En „til hvers er margliðudeiling“? Eins og um flest stærðfræðihugtök er dálítið erfitt að svara því – við erum að tala um einn þráð í risastórum vef eða eina steinvölu í stórri byggingu. Fyrir „almenning“ eru ekki beinlínis mikil not af því að kunna að framkvæma margliðudeilingu – helst að það nýtist til að finna stofnföll vissra falla (heildun). Það má svo spyrja hvort ástæða sé til þess að læra að finna umrædd stofnföll á pappír. Tölvur geta svo leyst öll þessi dæmi.

Mér datt reyndar í hug að tengja margliðudeilingu við sígilt verkefni:

Marglidud_kornHér er ekki um það að ræða að kynna margliðudeilingu sem leið til að leysa verkefnið – og það eru til aðrar mjög skemmtilegar og lærdómsríkar leiðir til að takast á við það – en ef kona er á annað borð að kynna sér margliðudeilingu þá er hægt að skoða það gegnum eftirfarandi dæmi:

deilingarOg alhæfa út frá þessum dæmum, skoða almennu niðurstöðuna. Í ljós kemur hin magnaða jafna

deiling_utkoma

Með því að velja viðeigandi gildi fyrir n og x má finna svarið við þrautinni.

Alltaf, stundum eða aldrei satt?

Er eftirfarandi jafna alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn? Við hugsum okkur hér að bókstafirnir a og b séu tölur.

\frac{a}{b}=\frac{b}{a}

Ef hún er alltaf eða aldrei sönn, útskýrðu hvers vegna. Ef hún er stundum sönn, gefðu dæmi um það, og gerðu tæmandi grein fyrir öllum slíkum dæmum ef þú getur.

Með því að setja fram fullyrðingar, eins og til dæmis jöfnur, með þessum hætti, í stað þess að leggja fyrir verkefni eins og „leystu jöfnuna …“ gerist eitthvað sem er dálítið merkilegt. Sérstaklega ef nemendur eiga að svara spurningunum í litlum hópum. Í stað þess að annaðhvort byrja að „reikna“ samkvæmt einhverjum (oft hálfgleymdum eða óljósum) reglum, eða gefast upp vegna þess að þeir „vita ekki hvernig þeir eiga að leysa þetta“, þá skapast samræður og pælingar. Nemendur fara jafnvel að prófa einhverjar tölur.

Þetta form á spurningu er eitt af því sem ég kynntist hjá breskum fræðimönnum í stærðfræðimenntun, man ekki hvort ég sá þetta fyrst hjá John Mason eða Malcolm Swan.

Ég lagði verkefni fyrir tvo fyrstu bekki á náttúrufræðibraut í síðustu viku, sem var ekkert annað en listi af fullyrðingum sem þau áttu að meta á þennan hátt. Að vísu má segja að ég sé að teygja aðeins á rökfræðinni í „ef … þá“ fullyrðingum. Því hvað þýðir að slík fullyrðing sé stundum sönn? Hugmyndin er að ef maður gefur sér einhverjar fleiri forsendur geti annars röng fullyrðing orðið sönn (smellið á mynd til að stækka).

Screen Shot 2013-09-15 at 15.14.37 PM

Ég gæti kennt allan áfangann sem lista af svona fullyrðingum. (Sé reyndar að síðasta verkefnið er ekki svona fullyrðing!)

ps. Um upphaflegu jöfnuna: reynslan sýnir að ein leið til að gera jöfnuna sanna kemur mörgum ekki í hug, möguleikinn a=b er ekki sá eini.

Föndurverkefni um föll

Í stað þess að eyða tímanum í að þjálfa nemendur í að herma eftir reiknitækjum (til að ná færni í því að umbreyta táknarunum innan sama framsetningarháttar) vil ég að nemendur búi til tengingar milli framsetningarkerfa, meðal annars milli framsetninga á aðstæðum á tiltölulega vernjulegu tungumáli og framsetninga á stærðfræðitáknmáli svo og framsetninga eins og línurita. Eitt verkefni sem nemendur (1. bekk á félagsvísindabraut) gerðu í vikunni, var að klippa út, flokka og para saman ólíkar framsetningar á föllum. Þeir fengu eftirfarandi blöð, og áttu að klippa út miðana:

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.15 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.06 PM

Athugið að það vantar nokkrar framsetningar og að það getur verið að tvær framsetningar innan sama háttar séu jafngildar.

Nemendur á þessu stigi þurfa dálítinn stuðning og samræðu við kennara til að ráða fram úr þessu, en með því að tala saman náðu þeir að gera þetta mjög vel. Þeir notuðu líka reikni- og teiknivélina Desmos (á tölvum og/eða símum) til að aðstoða sig. Ég birti hérna eina lausn (við skiptum þessu á tvö plaköt, svo hér eru bara tveir framsetningarhættir tengdir saman.)

Lausn_klippa_lima_foll

Krotað er yfir nöfn nemenda…

(Fyrir þá smámunarsömu: Það mætti gagnrýna örfá línurit fyrir að sýna gildi sem hafa ekki merkingu í samhengi við textann (t.d. neikvæðar hliðarlengdir.))

Nú þarf ég að setja meiri fókus á það hvernig nemendur geta unnið saman þannig að þeir læri sem mest og allir fái að vera með, þau æfi sig í að hlusta og ræða um hugmyndir hvers annars.

Táknmál mengjafræðinnar

Stundum les ég eða heyri fólk segja að kennarar eigi að „gera efnið áhugavert“. Gott ef þetta var ekki útvarpinu í gær, og þá var talað um dönskukennslu. Ég held að þetta sé ekki góð nálgun. Samt er ég að hugsa um það hvernig hægt sé að finna áhugaverðan flöt á námsefni um einfalda mengjafræði, þó að „fræði“ sé reyndar full mikið heiti á einhverju sem er eiginlega eingöngu um nafna- og ritháttarvenjur. Gullna reglan um stærðfræðikennslu er að spyrja þeirra spurninga sem gera sköpun þeirrar þekkingar sem að er stefnt óumflýjanlega í stað þess að kynna þekkinguna á undan spurningunum (eða það sem algengara og verra er: án þess að spurningarnar komi nokkuð við sögu). Ef þetta er of klúðurslega eða knappt orðað má fara hægar gegnum þetta:

„Hefðbundin stærðfræðikennsla“ felst í því að fyrst eru kynnt hugtök og aðferðir og svo æfa nemendur sig í að nota hugtökin og aðferðirnar með því að leysa til þess gerð verkefni. Verkefnin eru miserfið og djúp en þau eru í flestum tilfellum án snertiflatar við hinn ytri heim eða þau vandamál sem hugtökin og aðferðirnar voru þróuð til að leysa. Oft eru verkefnin eingöngu æfing í að umbreyta einni runu af táknum í aðra runu af táknum innan sama táknkerfis, samkvæmt einhverjum reglum (aðferðum). Nemendur geta sumir náð góðum tökum á þessu án þess að hafa nokkra hugmynd um það til hvers hugtökin eða aðferðirnar eru, hvaða öðrum hugtökum og aðferðum þau tengjast, eða til hvers þær eru. Reyndar eru þessi tök oft fljót að gleymast, eins og eðlilegt er um „þekkingu“ sem hefur enga merkingu (það er, engin tengsl við aðra þekkingu eða reynslu).

Yfirleitt er hægt að byrja á spurningu (eða spurningum) sem eru eðlilegar og áhugaverðar í sjálfu sér og eru ekki spurningar um þau stærðfræðihugtök eða aðferðir sem nemendur eiga að læra heldur eitthvað annað. Ég er samt ekki að meina endilega hversdagslega hluti eða mjög hagnýta hluti – þær geta meira að segja verið um stærðfræði, en þá um stærðfræði sem er nemendum mjög vel kunn.

Nú er ég að kenna stærðfræði í framhaldsskóla og áfangalýsingin og áætlunin gerir ráð fyrir að ég kenni fyrsta árs nemendum um táknmál mengjafræðinnar. Mitt kalda sérfræðimat á því er að það sé fáránlegt. Þetta táknmál er fullkomlega óþarft á þessu stigi og er ekki svar við neinum spurningum sem nemendur hafa eða hægt er að vekja með þeim. Ef einhver þekkir slíka spurningu má viðkomandi láta mig vita. (Tek fram að það er ekkert mál að spyrja áhugaverðra spurninga um mengi, til dæmis um fjölda í óendanlegum mengjum af ýmsu tagi, eða heimspekilegra spurninga eins og um mengi allra mengja, þversögn Russels og svo framvegis, en það er ekki efnið.)

Nú ætla ég að opna mig meira um eigin kennslu en mér finnst þægilegt og gagnrýna námsefnið, sem er að finna í bókinni STÆ 203 eftir Jón Hafsteinn Jónsson, Níels Karlsson, Stefán G. Jónsson. Í fyrsta „verkefnakafla“ er fyrsta verkefnið eftirfarandi:

verkefni1_mengi

„Merkið 1 við réttar staðhæfingar og 0 við rangar.“ Really?

Rödd stærðfræðingsins í mér segir: „já fínt, þetta er bara um það að læra nákvæmni í meðferð einfaldra tákna. Ef maður skilur táknin er þetta ekkert mál, reglurnar um meðhöndlun þeirra eru ótvíræðar“. Rödd stærðfræðimenntunarfræðingsins (í tilfinningalegu uppnámi) segir: „það er ekki ein einasta vitglóra í því að láta 16 ára nemendur fást við að læra táknmál sem hefur engan tilgang fyrir þá og tekur tíma frá því að kljást við bitastætt stærðfræðilegt innihald, að greina, skapa, rökstyðja (sanna), að tengja stærðfræði við aðra hluti, að nota stærðfræði til að svara áhugaverðum spurningum. Það er deginum ljósara að margir nemendur eiga erfitt með þetta vegna þess að þetta er ekki um neitt og hjálpar þeim ekki að skilja neitt. Og þó að margir geti „náð þessu“ þá geta þeir ekki náð því til hvers þetta er, vegna þess að svarið við því er: ekki til neins.“ Í alvöru talað, að æfa formlegan rithátt í stað þess að glíma við innihald: fyrstu kynni nemenda í framhaldsskóla af stærðfræði! Ég gæti grátið.

Í stað þess að gráta hef ég hins vegar búið til verkefni sem fær nemendur til þess að tala saman og byggir á hönnun eftir Malcolm Swan. Það gengur út á að læra að túlka og umbreyta af einu framsetningarformi (e. mode of representation) yfir á annað (og tilbaka) – sem er lykilatriði í stærðfræðinámi til skilnings. Það er mun mikilvægara fyrir skilning en umbreyting innan sama framsetningarforms (sem hefur eins og áður sagði miklu meira vægi í hefðbundinni stærðfræðikennslu.)

Nemendur fá blöð með tvenns konar framsetningum á mengja-aðgerðum. Önnur framsetningin er teikning af hringjum, sem er eins konar „íkonísk“ framsetning, þ.e. teikningin „samsvarar“ aðstæðunum sem hún sýnir. Hitt er mengjatáknmál, sem er táknræn framsetning, þ.e. það er ekkert við táknin sjálf sem segir hvað þau merkja. Nemendur eru þrjú og þrjú saman og þau klippa út miða og para saman framsetningar og líma á plakat. Sums staðar á sama framsetning á einu formi við um tvö á öðru og sums staðar vantar framsetningu á einu forminu. Þá eiga nemendur að búa hana til sjálfir. Hér eru blöðin á myndaformi (nenni ekki að setja pdf hér og nú.)

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.41 PM

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.20 PM

 

Svona ef einhver kynni að vilja prófa þetta.