Brot af vinnu kennara

Nýtt vinnumat framhaldsskólakennara var fellt. Um það má margt segja, en það verður ekki hér. Hér eru tveir hlutir sem ég hef unnið að og búið til, sem virðist ekki gert ráð fyrir að ég geri samkvæmt kjarasamningi, því tíminn sem það tekur að búa svona til er svo sannarlega miklu meiri en 20 mínútur „á kennslustund“. Inn í vinnumatið er nefnilega ekki tekið framleiðsla á námsefni, þróun nýjunga, eða annað slíkt. Ég birti þetta hér ef einhver skyldi vilja nota þetta, eða fá hugmyndir af því að sjá þetta.

1. Mannfjöldi á Íslandi

Þetta er búið til á vefsíðunni Desmos. Í skjalinu er tafla yfir mannfjölda á Íslandi samkvæmt Hagstofunni. Einnig er þar vísisfall með stikum sem hægt er að breyta, og annað fall sem er línufall. Hægt er að sjá og fela föllin með því að smella á hringina vinstra megin við þau.

Hægt er að nota tölurnar til að æfa einfaldan prósentureikning (hve mikið fjölgaði Íslendingum á árabilinu ….?) eða „flóknari“ prósentureikning (um hve mörg prósent fjölgaði Íslendingum að meðaltali á árabilinu …?) eða til að kynna vísisvöxt og vísisföll og það að finna stærðfræðilegt líkan (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?)

2. Hitastig í Reykjavík

Í skjalinu er tafla yfir mánaðarlegt meðalhitastig í Reykjavík samkvæmt Veðurstofunni, frá 1. janúar 2011 til 1. janúar 2015. Einnig er þar sínusfall með stikum sem hægt er að breyta.

Hægt er að nota tölurnar til að kynna það að finna stærðfræðilegt líkan af lotubundum fyrirbærum með hornaföllum (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?) Hér er ekkert farið út í flóknari líkön sem gætu virkað betur (bæta við fleiri bylgjum ofan á), en þó er þetta dæmi um eitthvað þar sem þarf annað en línulegt, veldis- eða vísisfall.

 

Speglaðu þetta ef þú getur I

Í bókinni Lýðræði, réttlæti og menntun skrifar Ólafur Páll Jónsson um hugmyndir pragmatista (verkhyggjusinnum) eins og John Dewey, um nám, þannig (bls. 38):

Þannig leggja forsprakkar verkhyggjunnar allir áherslu á að það að öðlast þekkingu sé ekki ferli sem einkennist af því að taka við upplýsingum (t.d. í gegnum skynfærin) og vinna úr þeim (t.d. með hugsun), heldur virkt ferli þar sem þekkingaröflunin byggir á rannsókn þar sem þekkingin er ekki bara útkoma úr rannsókninni heldur hluti af virku ferli.

Þetta gæti líka verið einföld lýsing á ríkjandi hugmyndum innan stærðfræðimenntunar um gott stærðfræðinám.

Því miður er þetta víðsfjarri veruleika flestra skólastofa. Og ég sé enga leið til að samræma þetta því sem kallað hefur verið „spegluð kennsla“ eða „vendikennsla“. Ég útiloka ekkert, ef ég fæ einhverntíma dæmi um slíkt þá er væri það frábært. Grunnhugmyndin um slíka kennslu virðist vera að láta nemendur horfa á útskýringarmyndbönd heima sem undirbúi þá til að leysa verkefni í skólanum. Þannig geti kennari sleppt fyrirlestrum í skólanum, en í staðinn hjálpað nemendum í verkefnavinnu. Kannski getur þetta gengið í einhverjum námsgreinum. En þetta víxlar röðinni eins og lýst var í textabrotinu um pragmatisma. Rannsóknin kemur fyrst. Í því ferli verður þekkingin til. Rannsókn er ekki það að læra fyrst um einhver hugtök eða aðferðir sem síðan er beitt til að leysa verkefnin. Rannsókn er ferlið þar sem hugtökin og aðferðirnar verða til.

Erfitt að spegla þetta ferli!

Erfitt að spegla þetta ferli!

Hér er önnur tilvitnun sem mér finnst passa á þessum stað, sem erfitt er að samræma við kennslu ef kennsla er það að veita upplýsingar eða útskýringar. (Haft eftir Nitas Moshovits-Hadar í bókinni Developing thinking in algebra, eftir Mason, Graham og Johnston-Wilder)

every mathematical ‘fact’ or ‘result’, every technical term, signals a surprise that was experienced by someone, which led to its development and use, and that it is possible to re-enter and re-create that surprise for learners.

(Ég hef alls ekki alltaf getað farið leið rannsóknarnálgunar í stærðfræðikennslu, jafnvel bara frekar sjaldan og að litlu leyti, því miður. Ástæður þess eru margs konar, og mætti telja bæði skort á námsefni eða skort á tíma/orku til þess að búa til slíkt efni, samræmd lokapróf hópa, væntingar nemenda og margt fleira. Allt hlutir sem hægt er að vinna á, en taka tíma og orku.)

Þegar ég horfi á myndband af Khan Academy er ég bara:

Ég er lélegur í að halda alveg aðskildum tilfinningum mínum og hinu faglega og fræðilega sjálfi. Til dæmis: má ég gera slíkt grín eins og sjá má hér að ofan? Hvaða áhrif hefur það á nemendur í skólum, kennara og aðra sem ég tala við sem fulltrúi af fræðasviðinu stærðfræðimenntun? (Fyrir utan það að ég vil ekki leggja blessun mína yfir þessa tilteknu sögupersónu í sjónvarpsþáttaröð sem gengur beinlínis út á endurframleiðslu hefðbundinna kynjahlutverka (og stundum nauðgunarhúmor.))

Svo að: hreyfimyndin lýsir því hvað mér finnst kennslumyndbönd Khan Academy ólýsanlega leiðinleg. En nú ætla ég að reyna að útskýra og greina nokkrar hliðar á því hvað þessi myndbönd þýða fyrir stærðfræðinám. Til að taka dæmi sem fólk getur skoðað valdi ég eitt myndband af handahófi, myndbandið sem kynnir áhorfanda fyrir reglu Pýþagórasar.

Hér er gömul en sígild tilvitnun í Richard Skemp (sem var mikilvægur frumkvöðull á sviði stærðfræðimenntunar sem fræðasviðs): 

Einu sinni hélt ég að stærðfræðikennarar væru allir að kenna sömu grein, sumir betur en aðrir. Nú er ég þeirrar skoðunar að það sé í raun verið að kenna tvær ólíkar greinar undir sama nafninu, stærðfræði.

Þetta er líklega reynsla sem flestir upplifa mjög fljótlega, sem fara að rannsaka eða hugsa alvarlega um stærðfræðikennslu, og á við um allan heim. Fleiri en einn og fleiri en tveir hafa reynt að lýsa muninum á þessum tveimur hlutum með hliðstæðum og myndlíkingum. Ef við nefnum annan hlutinn „skólastærðfræði“ þá er sambandi þess hlutar við hinn (sem mætti kalla „stærðfræði“) stundum líkt við tengsl nótnaskriftar við tónlist. Við erum beðin að hugsa okkur heim þar sem tónlist er skyldunámsgrein sem væri kennd þannig að nemendur þyrftu að læra nótnalestur og -skrift, tónfræði og hljómfræði, en fengju aldrei nokkurn tíma að heyra, spila eða syngja eitt einasta lag. Táknin væru bókstaflega ekki í tengslum við það sem þau eiga að tákna, og námið væri þess vegna fullkomlega merkingarlaust.

Sem hliðstæða eða myndlíking nær þessi lýsing auðvitað frekar skammt, auk þess sem vandinn við myndlíkingar til að útskýra hluti, er að til að skilja hana þarf einhverja hugmynd um báðar hliðar líkingarinnar. Og í orðræðunni og menningunni ríkir hugmynd um stærðfræði sem á miklu meira skylt við skólastærðfræði en stærðfræði. (En sem fræðimaður set ég hér fyrirvara um að tengsl þessara tveggja hluta er ekki einfalt.)

Ríkjandi hugmynd um stærðfræði („skólastærðfræði“) segir að stærðfræði sé stórt safn af tiltölulega svipuðum aðferðum sem tengjast ekki, lítið, eða með mjög dularfullum hætti immbyrðis, sem búið er að finna upp til þess að reikna alls konar dæmi. Allir þurfi að kunna viss grunnatriði (venjulegan reikning) en aðeins lítil hlutfall manna þurfi að vita meira, til að geta hannað geimskutlur eða annan flókinn tæknibúnað. Auk þess sé slíkt ekki á færi venjulegs fólks, heldur þeirra sem eru einhverskonar ofurheilar eða frík. Það að læra stærðfræði sé að læra fjöldan allan af reikniaðferðum og best sé fyrir venjulegt fólk að velta því ekki of mikið fyrir sér hvers vegna þær virka, hvaðan þær eru sprottnar, eða hvort mögulegt sé að breyta þeim eða bæta eða beita á og aðlaga að nýjum og nýjum viðfangsefnum.

Sú hugmynd sem stærðfræðingar hafa um stærðfræði er almennt (auðvitað er hér ekki um algilda samræmda hugmynd að ræða) að stærðfræði sé lifandi vefur af hugmyndum, aðferðum og hugmyndum sem tengjast innbyrðis sterkum röklegum böndum og nýtist til þess að skilja betur heiminn, ná tökum á honum og skapa nýja hluti, bæði abstrakt hugtök og raunverulega hluti. Stærðfræðingar eru hins vegar ákaflega ósammála um það hvernig stærðfræði lærist eða hvernig eigi að kenna hana. En þeir eru líklega flestir sammála því að þegar allra fyrstu árunum sleppir hljóti röksemdir að fá meira og meira vægi í náminu. Að læra reiknireglur án þess að gefa gaum að ástæðunum að baki þeirra er einfaldlega ekki stærðfræði.

Annað sem hægt væri að segja er: reikningur er eitt, en stærðfræði er annað. Og hver eru tengslin? Jú, stærðfræði er (meðal annars) fræðigreinin um reikning. Á sama hátt er mál ekki það sama og málfræði. Þetta er alger grundvallarmunur. Að þessu leyti er stærðfræði algerlega ólík hlutum eins og íþróttaiðkun eða bílkeyrslu. Ég nefni þetta tvennt vegna þess að stundum er sagt að maður þurfi ekki að læra um ástæður hlutanna í stærðfræði á svipaðan hátt og maður þarf ekki að læra hreyfiaflsfræði til að verða góður í fótbolta (eða öðrum íþróttum) og maður geti vel keyrt bíl án þess að vita hvernig hann virkar. Hvoru tveggja er rétt, en stærðfræði er fræðigrein en ekki praktískur hlutur, jafnvel þó að fræðigreinin sé mjög hagnýt fyrir þá sem tileinka sér hana og ganga inn í samfélag stærðfræði-iðkenda.

Nú tengist þetta allt saman víðari hugmyndum um menntun og skóla, eðli þeirra, tilgangi og hlutverkum og ekki rými eða tími til að fara út í það. En skólaganga, eftir allra fyrstu árin, gengur út á að nemendur tileinki sér fræðilega hugsun, ekki bara almenna skynsemi eða hagnýta háttsemi. Það þarf enginn að ganga í skóla til að læra að tala móðurmálið, lesa  eða reikna. Á okkar dögum er það auðvitað þannig að margir gera einmitt það, auk þess sem það hjálpar mörgum til þess, en fólk lærir þetta líka án skólagöngu. Skipulagt nám er hins vegar flestum nauðsynlegt til að læra fræði og fræðilega hugsun. En svo er misskilningur margra að kennsla og nám í fræðum og fræðilegri hugsun fari fram þannig að kennari einfaldlega segi nemendum frá því (eða skrifi, eða búi til myndband.)

Aftur að upphafinu: hvaða mynd af stærðfræði birtist í myndbandi Khans um reglu Pýþagórasar? Er eitthvað talað um röklegt samhengi hennar við aðra hluti? Eða birtist hún sem ein regla, aðskilin frá öllum öðrum? Er talað um það til hvers hægt er að nota hana (umfram að reikna út hlið í rétthyrndum þríhyrningi þar sem tvær hliðarlengdir eru gefnar)? Og ef ég fer aðeins meira út í menntunar/náms/kennslu-fræði: Fær áhorfandinn eitthvað sem kalla mætti „þörf fyrir að vita“ (af hverju ætti ég að læra þetta?) Er eitthvað gert með fyrri þekkingu eða hugmyndir áhorfandans (sumir segja að það mikilvægasta í kennslu sé að mæta nemandanum þar sem hann er, tengja við hans fyrri þekkingu og hugmyndir)? Hefur áhorfandinn eitthvert virkt hlutverk? Er yfirhöfuð gert ráð fyrir því að hann hugsi? (Ég kalla það ekki hugsun að herma eftir.)

Mig langar að birta hérna gamla uppáhalds efnisgrein í nokkuð hrokafullum dúr, eftir Ólaf Daníelsson, sem gæti sjálfur hafa stundað mjög forna og lélega kennsluhætti, en greinin er dálítið spot-on í þessu samhengi:

Jeg þykist hafa orðið þess var, að ýmsum mentamönnum dylst gersamlega tilgangur stærðfræðinámsins í skólunum, halda, að takmark rúmfræðikenslunnar sje eitthvað í áttina til þess að kenna mönnum að mæla kálgarða eða túnskika. En þá væri illa varið löngum tíma og miklu erfiði, og held jeg fyrir mitt leyti, að betra væri þá að fá búfræðing til þess að mæla blettinn, en sleppa stærðfræðináminu í skólunum og losa þannig marga upprennandi mentamenn við mikið andstreymi.

Og að lokum verð ég að taka fram að flestum kennurum er fyrst og fremst umhugað um nemendur sína og framgang þeirra í menntakerfinu. Það felur í sér að koma þeim með sem hæstum tölum í gegnum allskonar próf. Þau próf reyna yfirleitt að draga ályktanir um stöðu nemenda út frá því hvernig honum gengur að leysa reikningsdæmi. Prófið er próf í skólastærðfræði en ekki í stærðfræði. Þess vegna er að mörgu leyti skiljanlegt að kennarar leggi áherslu á skólastærðfræði og þess vegna er skiljanlegt að bæði nemendum og kennurum þyki góð hugmynd að horfa á kennslumyndbönd Khan. Þau geta örugglega hjálpað nemendum fyrir slík próf og í því að leysa kennslubókardæmi í skólastærðfræði. Og þau eru þannig séð hvorki betri né verri en „hefðbundin“ stærðfræðikennsla, heldur bara alveg nákvæmlega eins.

 

Ipad, nám og sköpun

Apple leyfir fólki ekki að forrita Ipad-tækin sín. Og það var reyndar kveikjan að síðustu færslu. Vegna þess að vonir eru bundnar við að slík tæki geti nýst í skólum. Og mín hugmynd um skóla sem vettvang sköpunar með stærðfræði felur í sér að nemendur búi sjálfir til rafræna gripi.

Eitt af þeim verkfærum sem eru hvað mest spennandi fyrir ungt fólk sem vill skapa tölvuleiki eða teiknimyndir er Scratch. Níu ára krakkar geta lært að nota Scratch til að búa til slíka hluti en þeir geta það ekki nema að læra í leiðinni meira í stærðfræði heldur en flestir gera á lífsleiðinni. Og það geta þau án þess að þurfa að setja neinar formúlur á minnið eða æfa reikningsdæmi.

Og Scratch var tilbúið með tengingu fyrir Ipad þannig hægt var að spila leikina á græjunni. En þá sagði Apple nei. Það gæti verið vegna þess hve öflugt Scratch-kerfið er. Krakkar gætu hreinlega forritað gripinn til að hala niður tónlist af öðrum stöðum en itunes. Því miður virkar Ipad sem komið er meira sem neyslutæki en til sköpunar. Það gæti þó breyst og á vonandi eftir að gera það.

Að skapa eða neyta

Hve margir skyldu bæði hafa heillast af fyrirlestrum Ken Robinson um sköpun og skóla og Khan Academy (Khan var líka hylltur fyrir TED fyrirlestur)? Samt eru þeir í algerri grundvallarandstöðu hvor við annan. Eiga nemendur að búa eitthvað til í skólanum eða eiga þeir að innbyrða afurðir annarra? Eiga þeir að hugsa sínar eigin hugsanir eða læra um hugsanir annarra?

Úr bókinni School is hell eftir Matt Groening (smellið til að stækka)

Nú eru hlutirnir ekki alveg svona einfaldir. En samt sem áður. Annars vegar nám sem viðtaka, kennsla sem færsla upplýsinga frá kennara til nemanda og hins vegar nám sem sköpun, eitthvað sem verður til í glímu við verkefni, með því að tala um það við aðra, með tilheyrandi gagnrýni og ögrunum og hjálp frá kennara. Hlutverk kennara er gjörólíkt, ef við tökum þessa tvo póla. Í fyrrnefnda líkaninu reynir kennarinn að „koma efninu til skila“ með sem skýrustum hætti. Hann segir nemendum hvernig hlutirnir eru. Í hinu síðarnefnda er boðorð kennarans:

Leitastu við að gera eingöngu það fyrir nemendur sem þeir geta ekki gert sjálfir ennþá.

Ekki segja nemendum það sem þeir geta sjálfir sagt. Ekki leysa verkefni fyrir þá sem þeir geta sjálfir leyst.

Stærðfræði eða reikningur

Nú á dögum er vinsælt að umræða fari fram gegnum myndbönd sem fólk deilir á vefsíðum og Facebook. Hér er splunkunýtt myndband um stærðfræði sem skólafag, tölvur og reikning. Nú er ótalmargt sem flækir þau mál (ég er að skrifa doktorsritgerð um þetta og mun þar með greiða endanlega úr þeirri flækju) en megininntak þessa lestrar er ágætt.

Til sérstakrar umhugsunar er svar hans undir lokin, svo fyrir þá sem nenna ekki að horfa á allt saman skal ég setja niður kvót:

The most crazy thing is, people are giving me examples, look at this way in we got the this fantastic multimedia show to get the computer to show a student how to solve an equation by hand. This is nuts. The computer should be solving the equation. The student should be figuring out why we needed the equation in the first place, what the hell they are going to do with it.

Inn og út

Hvernig væri að gera tilraun til menntabloggs?

Ég horfi á tölvuskjá næstum allan daginn. Ég smelli á hlekki, ég slæ inn orð í leitarvélar. Ég les og horfi. Það er eins og orðin og myndirnar fari inn og út án þess að hræra við neinu innan í mér. Ég man ekki hvað ég var að skoða fyrir tíu mínútum. Í lok dags man ég nánast ekkert af því hvað ég var að lesa og skoða þann daginn.

Þetta er svipuð reynsla og af því þegar ég sat í fyrirlestrum í framhalds- og menntaskóla. Nema mér finnst þetta yfirleitt skemmtilegra núna. Oft mjög áhugavert. Samt man ég næstum ekki neitt. Nema kannski ef ég reyni að rifja upp og tékka á history möppunni.

Ég hef verið að skoða fólk sem bloggar um nám á 21. öldinni. Eins og það er stundum kallað. Helstu áhugamál þessa fólks eru venjulega bæði að gjörbreyta þurfi menntun og menntakerfum, til þess að nemendur öðlist annars konar og gagnlegri hæfni en hefur verið í boði hingað til. Að nú þurfi að leggja áherslu á sköpun, hugsun og samskipti, svo eitthvað sé nefnt. Og að menntun eigi að snúast um að efla nemendur til að raunverulega gera eitthvað sjálfir, hér og nú. Eitt af því sem fólk bindur vonir við er tölvutækni. Til dæmis að nemandi með tölvu geti gert og lært eitthvað miklu merkilegra en hægt var í gamla daga (núna). Þá er ekki verið að meina að kenna börnum á Word eða þau fari í einhver reikniæfingaforrit eða horfi á kennara flytja fyrirlestur á YouTube.

Einn af forgöngumönnum er bandaríkjamaðurinn Seymour Papert. Hann hefur skrifað um þetta síðan á sjöunda áratugnum, og reyndar bjó hann á sínum tíma til forritunarmál fyrir börn sem heitir Logo. Hugmynd hans var að leggja forritunarmál í hendur barna, sem með því gætu lært … hvað á maður að kalla það – stærðfræði, forritun, sköpun? Hér eru tekin saman átta meginhugmyndir hans um menntun (flýtiþýðing mín, hér er enski textinn og margt fleira gott):

Fyrsta hugmyndin er að læra með því að gera. Við lærum betur þegar námið er hluti af því að gera eitthvað sem okkur finnst raunverulega áhugavert. Við lærum best þegar við notum það sem við lærum til að búa til eitthvað sem okkur langar raunverulega í.

Önnur stóra hugmyndin er tækni sem efniviður. Ef maður getur notað tækni til þess að búa hluti til, þá getur maður búið til miklu áhugaverðari hluti. Og maður getur lært miklu meira með því að búa þá til. Þetta á sérstaklega við um stafræna tækni: tölvur af öllum gerðum, og þar með talið tölvustýrt Lego.

Þriðja stóra hugmyndin er erfiðisgaman. Við lærum best og við vinnum best ef við höfum gaman af því sem við erum að gera. En gaman og ánægja þýðir ekki „auðvelt“. Besta gamanið er erfiðisgaman. Íþróttahetjur vinna mjög mikið að því að bæta sig. Bestu smiðirnir njóta þess að smíða.

Fjórða stóra hugmyndin er læra að læra. Margir nemendur halda að „eina leiðin til að læra er að vera kennt.“ Þetta er það sem veldur þeim vandræðum í skóla og öðru lífi. Enginn getur kennt manni allt sem maður þarf að kunna. Maður verður að taka stjórn á eigin námi.

Fimmta stóra hugmyndin er að taka tíma – þann tíma sem þarf fyrir verkið. Margir nemendur í skóla venjast því að vera sagt á fimm mínútna eða kannski klukkutíma fresti: gerðu þetta, svo þetta, og svo það næsta. Ef einhver er ekki að segja þeim hvað þau eiga að gera fer þeim að leiðast. Lífið er ekki þannig. Ef maður ætlar að gera eitthvað sem máli skiptir verður maður að læra stjórna tímanum sjálf. Þetta er erfið staðreynd fyrir marga.

Sjötta stóra hugmyndin er stærst allra: maður getur ekki gert hlutina rétt nema nema að gera þá líka rangt. Ekkert sem máli skiptir virkar í fyrsta sinn. Eina leiðin til að laga hlutinn er að skoða gaumgæfilega hvað gerðist þegar hann virkaði ekki. Til að ná árangri þarf maður frelsi til að gera vitleysur á leiðinni.

Sjöunda stóra hugmyndin er að gera sjálfum okkur það sem við gerum nemendum okkar. Við erum alltaf að læra. Við höfum reynslu af því að gera eitthvað svipað því sem við erum að gera, en hvert skipti er samt ólíkt hinum. Við getum ekki gert okkur nákvæma hugmynd um það sem mun gerast í þetta skipti. Við njótum þess sem við erum að gera, en gerum ráð fyrir því að það verði erfitt. Við væntum þess að taka okkur tíma til að gera þetta vel. Sérhver vandræði sem við rötum í er tækifæri til að læra. Besta lexían sem við getum fært nemendum okkar er að leyfa þeim að sjá okkur glíma við að læra.

Áttunda stóra hugmyndin er við erum að ganga inn í stafrænan heim þar sem þekking á stafrænni tækni er jafn mikilvæg og lestur og skrift. Það er því mikilvægt fyrir framtíð nemenda að þeir læri um tölvur EN mikilvægast er að nota þær NÚNA til að læra um allt hitt.

Ég mæli annars mikið með þessu bloggi Sylviu Martinez, um tækni til að valdefla nemendur.