Margliðudeiling: til hvers?

Í síðustu viku var ég að „kenna margliðudeilingu“. Ég set gæsalappir utan um vegna þess að mér finnst óþægilegt að tala um „að kenna“ eitthvert hugtak eða aðferð þegar ég á við að ég hafi sýnt nemendum hugtak eða aðferð og svo fengið þá til þess að æfa sig í notkun á því með því að reikna kennslubókardæmi. Ég hallast að þeirri skoðun, eins og flestir fræðimenn í stærðfræðimenntun, að yfirleitt sé skynsamlegra að láta aðferðirnar verða til (í samræðu, glímu við verkefni, vísbendingum) við það að nemendur kljást við einhverja spurningu (eða spurningar) sem eru áhugaverðar í sjálfu sér og raunverulegar fyrir nemendum. Auðvitað er misjafnt hvað vekur áhuga og það er líka misjafnt hvað er raunverulegt fyrir manneskju. Tölur og aðrir stærðfræðilegir hlutir geta til dæmis verið raunverulegir ef þeir eru hluti af persónulegum merkingarvef manneskju. En það er mjög sjaldgæft að fólki finnist áhugavert að læra að nota hugtak/aðferð ef það tengist engu öðru í þeirra reynsluheimi. Ef hinsvegar hugtakið/aðferðin er kynnt eða leidd fram sem rökrétt leið til þess að leysa einhverja raunverulega spurningu, þá fyrst svarar námið einhverrri (vitsmunalegri) þörf hjá nemandanum.

Af þessum ástæðum finnst mér ekki skynsamlegt að „kenna margliðudeilingu“ ef slík vitneskja svarar engri vitsmunalegri þörf hjá nemendum. (Hið sama á við um öll stærðfræðihugtök.) En „til hvers er margliðudeiling“? Eins og um flest stærðfræðihugtök er dálítið erfitt að svara því – við erum að tala um einn þráð í risastórum vef eða eina steinvölu í stórri byggingu. Fyrir „almenning“ eru ekki beinlínis mikil not af því að kunna að framkvæma margliðudeilingu – helst að það nýtist til að finna stofnföll vissra falla (heildun). Það má svo spyrja hvort ástæða sé til þess að læra að finna umrædd stofnföll á pappír. Tölvur geta svo leyst öll þessi dæmi.

Mér datt reyndar í hug að tengja margliðudeilingu við sígilt verkefni:

Marglidud_kornHér er ekki um það að ræða að kynna margliðudeilingu sem leið til að leysa verkefnið – og það eru til aðrar mjög skemmtilegar og lærdómsríkar leiðir til að takast á við það – en ef kona er á annað borð að kynna sér margliðudeilingu þá er hægt að skoða það gegnum eftirfarandi dæmi:

deilingarOg alhæfa út frá þessum dæmum, skoða almennu niðurstöðuna. Í ljós kemur hin magnaða jafna

deiling_utkoma

Með því að velja viðeigandi gildi fyrir n og x má finna svarið við þrautinni.

Lesið í PISA III

Fleiri punktar um PISA 2012:

Stærðfræðiverkefnin eru nokkuð góð – en hvað mæla þau?

Stærðfræðiverkefnin sem lögð voru fyrir nemendur virðast almennt eins góð og slík verkefni geta verið. Þau eru verðugri og betri en „hefðbundin“ reiknisdæmi. Það má svosem deila um það hvort þau eru „raunveruleg“, og hvort þau mæli getu fólks til að bregðast við aðstæðum í veruleikanum. Kannski mæla þau eingöngu getu til að leysa á pappírsprófi verkefni sem eru einhvers konar textaeftirlíking af tilbúnum aðstæðum. Það er samt ekki ólíklegt að slík geta tengist „raungetu“, og skýrsluhöfundar PISA leiða reyndar að því líkum. Þeir segja til dæmis frá rannsóknum sem sýna fram á fylgni milli árangurs í slíku við „velgengni“ almennt: meiri árangur á svona prófum fylgja auknar líkur á atvinnuþáttöku, hærri tekjur, aukin þáttaka í stjórnmálum, betri heilsa og svo framvegis. Hér myndu krítískir lesendur spyrja sig hvort þetta allt saman sé ekki einfaldlega vegna þess að árangur innan skólakerfisins hefur svo mikið að segja. Það er, að það sé ekki það að þeir sem taki betri próf séu betri í öðru, heldur að útkoman úr skólagöngunni í formi réttinda, prófa, tengsla við rétta fólkið og fleira, skipti höfuðmáli um framhaldið. Þetta eru nú ekki auðveldar spurningar.

Árangursríkt skólakerfi og áhrif efnhagslegrar stöðu nemenda

PISA höfundar skilgreina árangursríkt skólakerfi þannig að það sé yfir OECD meðaltali í stærðfræði og þannig að áhrif félags-efnahagslegrar stöðu nemenda hafi áhrif sem eru undir OECD-meðaltali. Það er nefnilega þannig, almennt, að efnahagur og félagsleg staða nemenda (foreldra) hefur töluvert að segja um árangur á PISA.

PISA_Individual_SocioecoUm 14,5% af breytileika í árangri nemenda sem einstaklinga í OECD á PISA í stærðfræði skýrist af efnahagslegri og félagslegri stöðu nemenda. Nemandi sem er í forréttindastöðu (í efstu 25% á vísitölu um efnahags-félagslega stöðu) má búast við því að vera 39 stigum ofar á prófinu en nemandi sem er í lægstu 25%, sem PISA höfundar telja samsvara um það bil einu ári í skóla. Í rannsókninni er svo mjög mikið fjallað um það nákvæmlega hvernig þetta hefur áhrif í hinum mismunandi löndum. Og það er einnig skoðað hvernig ójöfnuður kemur fram í mismuni milli landa. Til dæmis er sterk neikvæð fylgni milli árangurs og hlutfalls nemenda í lægsta 25% þrepinu í félags-efnahags stiganum.

PISA_Socioeco

Að lokum í þessari færslu má geta þess að þau skólakerfi sem teljast „árangursrík“ samkvæmt skilgreiningunni hér að ofan eru í Ástralíu, Kanada, Finnlandi, Hong Kong, Japan, S-Kóreu, Lichtenstein og Macao. Og rétt er að minna á að jöfnuður er mikill í íslenska skólakerfinu – þar hefur efnhagsleg og félagsleg staða lítið að segja. Ég er reyndar með kenningu um að þau áhrif fari að segja til sín strax eftir grunnskóla…

Lesið í PISA II

Í tilefni af „umræðunni“ hef ég hef reynt að skoða PISA-skýrslurnar illræmdu svolítið. Í þessari síðustu rannsókn var einkum könnuð geta nemenda í stærðfræði. Mikið er látið með niðurstöðurnar, það er að segja stigafjölda og röð landa (og/eða borga). En í skýrslunum, sem eru samtals mörg þúsund blaðsíður er nú sagt frá ýmsu sem ekki kemst í fréttirnar og spekúlantarnir í sjónvarpssettunum virðast ekki vita af. (Eðlilega, þetta eru margar síður, og við erum víst ekkert sérstök í lestri.) Hér eru nokkur atriði (vonandi fleiri seinna):

1. Breytileiki er meiri milli einstakra nemenda í sama skóla en milli skólakerfa

Miklu meiri munur er milli nemenda innbyrðis en milli skólakerfa, ef þannig má að orði komast. Breytileiki í frammistöðu skýrist ekki nema 10% af því í hvaða skólakerfi nemendur eru. Hins vegar er mikill breytileiki milli skóla (almennt – ekki á Íslandi) og enn meiri milli nemenda innbyrðis í sama skólanum. Þannig skýrast í OECD löndum 36% af breytileikanum af ólíkum skólum og 54% af ólíkri getu nemenda í sama skólanum.

PISA_Variation_system_school_studentÉg er ekki viss hvað á að gera við þessar upplýsingar. Hugsum aðeins um það.

2. Íslenska grunnskólakerfið er dýrt en ekki vegna launa kennara

Hægri menn eru gjarnir á að tala um að opinber útgjöld til skólamála séu ekki aðalatriðið, enda vilja þeir minnka samneyslu eins og hægt er. Oft nefna þeir þetta og láta alveg hjá líðast að tala um laun kennara, sem eru einhver þau lægstu sem þekkjast sem hlutfall af landsframleiðslu. Á eftirfarandi mynd má sjá Ísland í 31. sæti af 34 löndum þar sem landsframleiðsla á mann er yfir 20.000 dollarar.

PISA_Educational_Spending

Þetta segir sína sögu um stöðu skóla á Íslandi og þá litlu virðingu sem borin er fyrir skólastarfi hér.

3. Skólakerfi í ríkum löndum standa sig betur á PISA eftir því sem laun kennara eru hærri

Það má deila um það hve sterkt sambandið er, en skýrsluhöfundar telja þetta skipta máli. Hér má sjá línurit með bestu línu fyrir ríkar þjóðir (yfir 20.000 dollarar á mann) sem hefur jákvæða hallatölu, og fyrir fátækar þjóðir (undir 20.000 dollara á mann) sem hefur neikvæða hallatölu.

PISA_Teacher_salaries

Það er því ljóst að tal hægrimanna um að laun kennara séu ekki mikilvægt atriði stenst ekki.

 

Lesið í PISA

Kannski er það óvinnandi verk, en mig langar að safna opinberri umfjöllun á íslensku um niðurstöður PISA-2013, þ.e. álitsgreinum og umræðum. Tenglarnir verða einungis með örkommentum í mesta lagi, en svo vonast ég til að safna orku í að skrifa eitthvað meira. Og listinn mun vonandi lengjast.

Ég tek samt fram í upphafi:

  • Ísland kemur ekki illa út í stærðfræði, sem var meginatriði könnunarinnar. Ísland er í meðallagi (tölfræðilega er ekki marktækur munur á Íslandi og meðaltali OECD-ríkja). Við erum með sama árangur og Stóra-Bretland og Frakkland og erum ofar en Svíar, Bandaríkjamenn og Rússar.
  • Árangur í læsi og náttúrufræði hefur versnað síðan 2009 á Íslandi. Hvað hefur breyst á þremur árum? (Mér er ekki kunnugt um neinar sérstakar breytingar á námsefni, en vissulega hafa laun kennara lækkað og kennsla hefur verið skorin niður, að minnsta kosti sums staðar.) Árangurinn í þessum greinum hefur líka versnað (hlutfallslega svipað mikið) í Finnlandi. Ég veit ekki til þess að neitt hafi breyst í menntakerfinu þar heldur.
  • Þau „svæði“ sem eru allra hæst eru borgríki í Kína. Borgir koma alltaf betur út í svona könnunum en heil lönd. Það gildir líka um önnur lönd. Og breytileiki innan landa milli fylkja og svæða er oft mikill, meiri en milli landa.
  • Kennaranám hefur verið lengt úr þremur árum í fimm á Íslandi en enginn kennari hefur ennþá útskrifast eftir því kerfi og því síður hafið störf. Um þetta virðist gæta misskilnings. Því má við bæta að þó að lengda kennaranámið hefði verið í gildi í áratug myndi það varla skýra mikið vegna þess að langflestir kennarar sem eru starfandi núna hafa ekki þá lengdu skólagöngu að baki. Að tengja þetta tvennt saman mætti jafnvel flokkast undir lélegt vísindalæsi eða eitthvað slíkt.
  • Stelpur eru betri í lestri alls staðar, í öllum löndum. Það er ekki séríslenskt. (Ég veit ekki hver ástæðan er, en kannski er kvenheilinn bara fullkomnari. Djók, en stelpur gætu verið á undan í þroska.)

Ragnar Þór Pétursson, kennari, segir að PISA-könnunin sé gamaldags, „ekki bara að ytri gerð – heldur líka innihaldi“. Hún miðist fyrst og fremst við framleiðslu verkfræðinga. Hann varar við dregnar séu of víðtækar ályktanir af könnuninni. Hann telur að nám til lýðræðis sé dæmi um eitthvað sem sé ekki mælt í PISA, en sé jafnvel mikilvægara en það sem er mælt í henni. Hann setur fram þá kenningu að lýðræðisríki séu á niðurleið en ólýðræðisleg ríki á uppleið í könnuninni.

Um þetta má ýmislegt segja. Það er nokkuð til í því að verkefnin (eins og skólastærðfræði yfirleitt) miðist dálítið við menntun verkfræðinga. Hins vegar myndi ég vilja bæta við að PISA verkefnin eru miklu betri heldur en þau verkefni sem ég hef séð á samræmdum prófum við lok grunnskóla. Þau reyna á skilning, tjáningu og túlkun – sem eru æskilegir hlutir. Í öðru lagi er ég ekki sannfærður um að mikil rækt sé lögð við lýðræðismenntun í íslenskum skólum. Það má vera að það sé sumstaðar, en ég hef ekkert sem bendir til þess að það sé almennt. Og ég held að kenningin um samband lýðræðis við gengi (eða breytingar á gengi) í PISA standist ekki.

Andri Geir Arinbjarnarson verkfræðingur, segir að niðurstaðan í lestri sé „auðvita skandall sérstaklega þegar haft er í huga að kennaranám á Íslandi er 5 ár í háskóla.“ (Eins og fram kemur hér að ofan hefur enginn kennari enn útskrifast úr því námi.) Andri telur að hærri laun kennara leysi ekki vandamálið: hann segir gögn skýrslunnar ekki benda til þess og nefnir af einhverjum ástæðum í sömu línu að Ísland eyði stærri hluta landsframleiðslu í grunnskólan en flest OECD-lönd. (Þessi kostnaður fer ekki í há laun kennara, hann snýst meira um steinsteypu og fámenna skóla úti á landi.) Það er reyndar ekki rétt hjá honum að laun kennara og/eða útgjöld til menntakerfis fylgist ekki að við betri árangur. Þess má geta að laun íslenskra kennara (sem hlutfall af landsframleiðslu) eru í 30. sæti af þeim 34 löndum þar sem landsframleiðsla er meira en 20.000 dollarar á mann á ári. (Og í 46. sæti af öllum löndunum 53.) Andri bætir því svo við að hið „mjúka grunnskólamódel Norðurlandanna“ sé ekki samkeppnishæft við austur Asíu. Ég átta mig ekki á því hvort hann telji grunnskóla Bandaríkjana, Rússlands, Frakklands og Bretlands of mjúka.

Ólína Þorvarðardóttir fræðimaður og fleira, gengur líka út frá því að PISA niðurstöðurnar sýni að eitthvað sé að. Hún segir að áhersla á „ytri þætti, umfang og ásýnd skólastarfs landinu hafi í reynd komið niður á inntaki kennslunnar og skólaþróun.“ Hún nefnir að kennarar séu of uppteknir af því að fá laun fyrir störf sín. Auk þess telur hún að það sé ekki sjáanlegt að hið lengda kennararnám (úr 3 árum í 5) muni skila sér í auknum gæðum kennslu. Þess má geta að hún telur það hártoganir þegar athugasemdaritarar benda henni á að hún geti ekkert fullyrt um áhrif lengra kennaranáms sem hafi ekki komið til framkvæmda.

Í Kastljósþætti (hlekkur væntanlega óvirkur eftir einhvern tíma) var rætt um PISA-könnunina. Þorbjörg Helga Vigfúsdóttir talaði fyrst um að á síðustu 10 árum hefðu samræmd próf verið tekin út, hugsmíðahyggja/uppgötvunarnám verið keyrt „hart inn“, skóli án aðgreiningar tekin upp, kennaranám verið lengt og ýtt hefði verið undir samfellu milli skólastiga og talað um minna heimanám. Hún telur að þannig hafi gríðarlega mikið verið gert.

Ég myndi gera eftirfarandi athugasemdir við þetta:

  • Engar rannsóknir eru til sem benda til þess að hugsmíðahyggja hafi áhrif kennsluhætti á Íslandi, hvað þá að „uppgötvunarnám“ sé útbreidd kennsluaðferð, að minnsta kosti í stærðfræði. Til eru kannanir þar sem kennarar segjast hallir undir hugsmíðahyggju, en það segir ekkert um það hvernig þeir kenna í raun. Auk þess er hugsmíðahyggja kenning um nám en ekki um kennslu.
  • Framkvæmd samræmdra prófa við lok grunnskóla var breytt veturinn 2008-2009, þannig að nú er prófað að hausti en ekki vori eins og áður. Ég sé ekki að sú breyting sé líkleg til að útskýra neitt.
  • Það virðist ekki líklegt að „skóli án aðgreiningar“ breyti getu nemenda til að leysa PISA-verkefni.
  • Kennaranám hefur verið lengt en sú lenging er ekki komin til framkvæmda eins og ég hef nefnt áður.
  • Aukin samfella milli skólastiga og minna heimanám. Er það svo í raun? Hver veit?

Annars fóru þessir viðmælendur út um allt og ég nenni ekki að taka það saman. Margar pælingar og kenningar, en því miður vantar raunveruleg gögn til að styðja þær. (Þrátt fyrir fullyrðingar þessa fólks um að mikil gögn séu til.)

Speglaðu þetta ef þú getur I

Í bókinni Lýðræði, réttlæti og menntun skrifar Ólafur Páll Jónsson um hugmyndir pragmatista (verkhyggjusinnum) eins og John Dewey, um nám, þannig (bls. 38):

Þannig leggja forsprakkar verkhyggjunnar allir áherslu á að það að öðlast þekkingu sé ekki ferli sem einkennist af því að taka við upplýsingum (t.d. í gegnum skynfærin) og vinna úr þeim (t.d. með hugsun), heldur virkt ferli þar sem þekkingaröflunin byggir á rannsókn þar sem þekkingin er ekki bara útkoma úr rannsókninni heldur hluti af virku ferli.

Þetta gæti líka verið einföld lýsing á ríkjandi hugmyndum innan stærðfræðimenntunar um gott stærðfræðinám.

Því miður er þetta víðsfjarri veruleika flestra skólastofa. Og ég sé enga leið til að samræma þetta því sem kallað hefur verið „spegluð kennsla“ eða „vendikennsla“. Ég útiloka ekkert, ef ég fæ einhverntíma dæmi um slíkt þá er væri það frábært. Grunnhugmyndin um slíka kennslu virðist vera að láta nemendur horfa á útskýringarmyndbönd heima sem undirbúi þá til að leysa verkefni í skólanum. Þannig geti kennari sleppt fyrirlestrum í skólanum, en í staðinn hjálpað nemendum í verkefnavinnu. Kannski getur þetta gengið í einhverjum námsgreinum. En þetta víxlar röðinni eins og lýst var í textabrotinu um pragmatisma. Rannsóknin kemur fyrst. Í því ferli verður þekkingin til. Rannsókn er ekki það að læra fyrst um einhver hugtök eða aðferðir sem síðan er beitt til að leysa verkefnin. Rannsókn er ferlið þar sem hugtökin og aðferðirnar verða til.

Erfitt að spegla þetta ferli!

Erfitt að spegla þetta ferli!

Hér er önnur tilvitnun sem mér finnst passa á þessum stað, sem erfitt er að samræma við kennslu ef kennsla er það að veita upplýsingar eða útskýringar. (Haft eftir Nitas Moshovits-Hadar í bókinni Developing thinking in algebra, eftir Mason, Graham og Johnston-Wilder)

every mathematical ‘fact’ or ‘result’, every technical term, signals a surprise that was experienced by someone, which led to its development and use, and that it is possible to re-enter and re-create that surprise for learners.

(Ég hef alls ekki alltaf getað farið leið rannsóknarnálgunar í stærðfræðikennslu, jafnvel bara frekar sjaldan og að litlu leyti, því miður. Ástæður þess eru margs konar, og mætti telja bæði skort á námsefni eða skort á tíma/orku til þess að búa til slíkt efni, samræmd lokapróf hópa, væntingar nemenda og margt fleira. Allt hlutir sem hægt er að vinna á, en taka tíma og orku.)

Mýtur um stærðfræðimenntun: getuskipting

Mjög oft leiða rannsóknir í ljós að það sem virðist bara almenn skynsemi, sjálfsagt og eðlilegt er bara rangt. Ég hef heyrt það oftar en ég man að það sé nemendum til gagns að skipta þeim í hópa eftir getu. Kannski hraðferð, miðferð og hægferð. Stundum eru fundin upp heiti til að fela skiptinguna. Er ekki gott fyrir þá slakari að fara hægar, og er ekki gott fyrir þá kláru að spretta úr spori?

Hér segir Jo Boaler frá nokkrum rannsóknum sem segja annað, og næstu kaflar í myndbandaröðinni fara dýpra í helstu ástæðurnar.

Að kenna stærðfræði er eins og…

Góð stærðfræðikennsla er dálítið eins og skurðaðgerð, svolítið eins og að fjarlægja æxli.

(“Good math teaching is a bit like surgery, it’s a little like removing a tumor.” Heimild: Steve Strogatz í samræðu við Grant Wiggins).

Eitt af þessu sem aldrei kemst í verk: að safna tilvitnunum um það hvað stærðfræðikennsla er. Höfundurinn að textanum að ofan afsakar sig reyndar í framhaldinu og segir að þessi líking sé ef til vill ekki sú rétta, en það sem hann er að vísa til er að nemendur halda oft að þeir viti ýmislegt sem er einfaldlega ósatt. Eða – fylgjandi samræðuhyggjunni – er byggt á öðrum skilningi en þeim sem gengið er út frá í orðræðu stærðfræðinnar. Stundum eru þessar hugmyndir nefndar „misconceptions“, en það væri líka hægt að tala um ólíkan skilning, túlkun eða merkingu.

Nám í stærðfræði bætir ekki hæfni til að draga ályktanir af sögulegum heimildum

Í gær setti ég eftirfarandi færslu á facebook:

Meira en 100 ár síðan fyrst var sýnt að það að læra eitthvað (eins og latínu, rúmfræði, algebru) bætir ekki almenna rökhugsun, námgetu, minni, eða neina aðra andlega færni. Samt trúa margir á svona, til dæmis að stærðfræðinám bæti rökhugsun.

Í framhaldinu átti ég í samræðu við Ásu Lind Finnbogadóttur og svo bætti Anna Kristjánsdóttir við. Mín tilfinning er að merking færslunnar hafi verið óljós og lesendur eins og Ása og Anna hafi túlkað hana í áttir frá því sem ég ætlaði. En ég veit það reyndar ekki frekar en þær eða aðrir. Merking er í grundvallaratriðum óstöðug og síbreytileg, þó að okkur takist oft að ná nógu góðri sátt og samskilningi til þess að halda áfram, til að finnast við hafa náð að samræma skilninginn (nógu vel, tímabundið). Ég hef í nokkur ár verið heillaður af samræðuhyggju (mín „þýðing“ á dialogism) sem (samkvæmt mínum skilningi) gengur út á meðal annars þetta: merking orða og athafna er í sífelldri þróun í samræðu. Ég ræð ekki merkingunni í þessari stöðufærslu, viðtakendur leika þar jafn stórt hlutverk, og ekki síður hin áframhaldandi samræða. Ég held að samræðan í gær hafi að minnsta kosti gert eitthvert gagn, þó að enn kunni að vera ólíkur skilningur – það er einmitt ólíkur skilningur fólks sem færir okkur áfram, og eykur skilning allra.

Það er ekki hægt að segja allt. Einföld staðreynd, sjálfsögð sannindi, en einmitt það sem veldur oft ágreiningi. Til að skýra orð mín „til fullnustu“ (sem er ekki hægt, því orð hafa marga merkingarmöguleika og við notum okkur þá staðreynd meðvitað og ómeðvitað til þess að leyfa viðtakendum að túlka / velkjast í vafa það sem við meinum) þyrfti ég að segja frá allri minni heimssýn, skoðunum, skilningi á orðum og veruleika. Skilningur fólks á milli er mögulegur, hann gerist á hverjum degi, en hann er aldrei fullkominn. Ég veit hvað þú meinar en samt ekki alveg. Enda meinarðu ekki alveg eitthvað eitt og veist ekki endilega sjálf/ur alveg hvað þú meinar.

Öll þessi „vandræði“ við margræðni orða og athafna eru jafnframt einmitt það sem gerir okkur mögulegt að eiga samskipti um allt mögulegt, nýjar aðstæður, sköpun og svo framvegis. „Eitt orð, ein merking“ er eins langt frá eðli samskipta og hægt er að komast.

En aftur að efninu: það sem ég hafði í huga varð til við lestur á tveimur greinum. Fyrst Claxton, “Mathematics and the mind gym: how subject teaching develops a learning mentality”, í For the learning of mathematics, 24(2), 2004:

it is not clear that mathematics is the new Latin – in the sense of providing any kind of effective, generic ‘training of the mind’. Of course, Latin never was, despite the rear-guard rhetoric of its adherents, and there is no evidence that I am aware of that students of mathematics show any enhancement of their spontaneous, real-life powers of deduction, logical argument and so on.

En líka Smith, “Why is Pythagoras Following Me?”, í Phi Delta Kappan, Feb. 1989 sem vitnar í rannsókn Thorndike og Woodworth frá 1901 (þess vegna sagði ég „meira en 100 ár síðan“),The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions (I)

Improvement in any single mental function rarely brings about equal improvement in any other function, no matter how similar, for the working of every mental function group is indicated by the nature of the data in each particular case.

Svo að punkturinn er ekki sá að kennsla og/eða nám geti ekki haft áhrif á „greind“, hvað sem það er, segjum bara getu til að læra að gera hluti. Heldur að venjulegt nám í einhverju tilteknu, eins og algebru, rúmfræði, latínu, málfræði, skák (svo eitthvað sé nefnt af því sem stundum er talið „þjálfa heilann“) hefur aðallega áhrif á getu fólks til að fást við þau tilteknu eða mjög skyldu hluti sem námið miðaðist að. Ég er til dæmis alveg búinn að fá nóg af þeirri fullyrðingu að stærðfræðinám þjálfi rökhugsun. Ef stærðfræðinámið miðast að því að þróa rökhugsun nemenda (sem það ætti að gera en er ekki endilega venjan) þá getur það gert það, þó að það verði stærðfræðileg rökhugsun sem þá er þroskuð. Og sú tegund rökhugsunar er ekki endilega gagnleg fyrir ýmis önnur svið fræða eða tilverunnar almennt.

Það skortir ekkert á mýgrút dæma um það að fólk sem er mjög klárt í slíkri rökhugsun segir tóma vitleysu um aðra hluti, sem það hefur ekkert vit á.

Alltaf, stundum eða aldrei satt?

Er eftirfarandi jafna alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn? Við hugsum okkur hér að bókstafirnir a og b séu tölur.

\frac{a}{b}=\frac{b}{a}

Ef hún er alltaf eða aldrei sönn, útskýrðu hvers vegna. Ef hún er stundum sönn, gefðu dæmi um það, og gerðu tæmandi grein fyrir öllum slíkum dæmum ef þú getur.

Með því að setja fram fullyrðingar, eins og til dæmis jöfnur, með þessum hætti, í stað þess að leggja fyrir verkefni eins og „leystu jöfnuna …“ gerist eitthvað sem er dálítið merkilegt. Sérstaklega ef nemendur eiga að svara spurningunum í litlum hópum. Í stað þess að annaðhvort byrja að „reikna“ samkvæmt einhverjum (oft hálfgleymdum eða óljósum) reglum, eða gefast upp vegna þess að þeir „vita ekki hvernig þeir eiga að leysa þetta“, þá skapast samræður og pælingar. Nemendur fara jafnvel að prófa einhverjar tölur.

Þetta form á spurningu er eitt af því sem ég kynntist hjá breskum fræðimönnum í stærðfræðimenntun, man ekki hvort ég sá þetta fyrst hjá John Mason eða Malcolm Swan.

Ég lagði verkefni fyrir tvo fyrstu bekki á náttúrufræðibraut í síðustu viku, sem var ekkert annað en listi af fullyrðingum sem þau áttu að meta á þennan hátt. Að vísu má segja að ég sé að teygja aðeins á rökfræðinni í „ef … þá“ fullyrðingum. Því hvað þýðir að slík fullyrðing sé stundum sönn? Hugmyndin er að ef maður gefur sér einhverjar fleiri forsendur geti annars röng fullyrðing orðið sönn (smellið á mynd til að stækka).

Screen Shot 2013-09-15 at 15.14.37 PM

Ég gæti kennt allan áfangann sem lista af svona fullyrðingum. (Sé reyndar að síðasta verkefnið er ekki svona fullyrðing!)

ps. Um upphaflegu jöfnuna: reynslan sýnir að ein leið til að gera jöfnuna sanna kemur mörgum ekki í hug, möguleikinn a=b er ekki sá eini.

Hvernig á að drepa stærðfræði?

Í bókinni STÆ-203 sem ég hef minnst á nýlega er fyrsti kaflinn um „mengjareikning“ en annar kaflinn er um „talnareikning“ en það þýðir m.a. (fyrsti undirkafli) að þátta náttúrlegar tölur í frumþætti. Það er engin tenging, þráður eða samhengi milli þessara kafla. Á þriðju blaðsíðu þessa kafla (bls. 23 í bókinni) er sett fram regla (án þess að á undan fari einhverjar pælingar eða spurningar um hana eða það sem hún fjallar um):

STÆ_203_R2.2_FrumtölurEf til vill er nauðsynlegt að ítreka að hér hefur ekkert farið á undan, til dæmis spurningar eins og:

  • Eru frumtölur endanlega margar?
  • Eru tölur á borð við 2 x 3 x 5 + 1 eða 2 x 3 x 5 x 7 + 1 (osfr) nauðsynlega frumtölur?
  • Ef 2 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 2 þá nauðsynlega upp í a eða b?
  • Ef 4 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 4 þá nauðsynlega upp í a eða b?

Það sem vísað er til í sönnuninni er regla 2.1 sem er svona sett fram (og allur kaflinn fram að því):

STÆ_203_R2.1_Grunnregla

Varla þarf að taka fram að regla 2.1 er sett fram án sönnunar. Það er hvorki tekið fram að það er hægt að sanna hana (en sönnunin er hins vegar ekki „viðeigandi“ fyrir lesendahópinn) né gefið til kynna að reglan sé ekki augljós.

Til samanburðar er hér brot úr bókinni Málsvörn stærðfræðings (í þýðingu Reynis Axelssonar):

Málsvörn_Frumtölur_1

Málsvörn_Frumtölur_2Nú kann sumum að finnast upphafning Hardy óviðeigandi í kennslubók (af hverju samt?) En þetta efni, þessi regla (eða setning, eins og við segjum í stærðfræðinni) hefur engan annan tilgang en þann að dást að henni. Hún hefur enga praktíska þýðingu fyrir nemendur, hjálpar þeim ekki að leysa nein hversdagsleg eða fræðileg viðfangsefni, ekki einu sinni í stærðfræði. Nema þeir fari út í talnafræði í framhaldsnámi á háskólastigi. Og það er reyndar merkileg staðreynd að þessi setning hefur hagnýtan tilgang, sem tengist (m.a.) dulritun gagna. En það er ekki efni sem nemendur á þessu stigi tengja við eða gera nokkuð með, þó að það sé fínt að segja þeim frá því (það er ekki minnst á þetta í bókinni).

Eini hagnýti tilgangurinn er fagurfræðilegur og hugsanlegur stærðfræðilegur þroski – en hann fæst ekki nema að nemendur pæli dálítið í þessu og fái tækifæri til þess að spyrja spurninga sem svarað er með reglunni.

Og svona í lokin: ég segi nemendum alltaf frá tvíburafrumtölum (twin primes) í þessu samhengi. Eru til óendanlega mörg pör af frumtölum sem eru þannig að mismunur talnanna er 2? (Dæmi: 5 og 7, 41 og 43). Þessu er enn ósvarað – hvað heldur þú? (Síðastliðið vor vakti athygli þegar áður óþekktur stærðfræðingur, Yitang Zhang, sannaði að til er tala N sem er í mesta lagi 70.000.000 sem er þannig að til eru óendanlega mörg pör af frumtölum þannig að munurinn á þeim er minni en N.)