Tag Archives: stærðfræði

Halló reiknirit

Bókin Hello World: How to be Human in the Age of the Machine, eftir Hannah Fry er það sem kalla mætti „rit almenns efnis“ eða kannski alþýðlega fræðibók. Ég gæti mælt með henni fyrir almenna lesendur sem hafa áhuga á því hvernig reiknirit (algóritmar) móta veruleika okkar í síauknum mæli. Hún lýsir margskonar hættum og vandamálum sem því fylgja.

Tekin eru fjölmörg dæmi, svo sem eins og um notkun reiknirita við bandaríska dómstóla til þess að ákvarða hvort sakborningar fái að ganga lausir gegn tryggingu, eða að ákvarða lengd refsinga; að láta reiknirit greina læknisfræðileg gögn, svo sem röntgenmyndir í krabbameinsleit; að reiknirit stjórni bíl (sjálfkeyrandi bílar); að reiknirit ákvarði hvaða auglýsingar eigi að birta hverjum og einum; að reiknirit birti lista yfir vefsíður þegar leitað er á netinu. Allt eru þetta dæmi um verkefni sem reiknirit eru látin vinna nú þegar eða verið er að þróa þau til þess.

Höfundur lýsir tvenns konar reikniritum en þó án allra tæknilegra skýringa. Í fyrsta lagi reikniritum sem höfundar smíða út frá einhverju ætluðu líkani um það hvernig eigi að reikna eitthvað út. Þá ákvarða hönnuðir reikniritsins í smáatriðum hvernig reikniritið eigi að komast að niðurstöðu, á alveg jafn vel skilgreindan hátt og hægt er að segja hvernig hægt er að leggja saman tölur með hefðbundinni uppsetningu. Í öðru öðru lagi eru reiknirit sem byggja á gervigreind, og sér í lagi á vélarnámi (machine learning). Þau reiknirit „læra“ sjálf og enginn manneskja veit í raun og veru hvernig það tekur ákvarðanir. Hér er þó ekki um neitt dularfullt að ræða, reikniritið er í raun og veru að finna einhverskonar tölfræðilega samnefnara í framsetningu fyrirbæra. Slík reiknirit geta til dæmis greint efni ljósmynda (á tilteknu sviði) eins og hvort mynd sé af hundi, og raunar geta þau greint af hvaða tegund hundurinn er, eftir að hafa farið yfir þúsundir mynda, giskað á tegund, og fengið að vita hvort giskið var rétt. (Svo ég lýsi þessu gróflega).

Hannah bendir á að mörg reiknirit séu bjöguð. Þau endurframleiða oft bjaganir samfélagsins vegna þess að þau eru byggð á forsendum þess. Þetta getur reyndar gerst á mismunandi vegu. Bjögunin getur verið hluti af hinu skipulagða reikniriti (fyrri gerðin), vegna þess að höfundarnir nota bjagaðar forsendur (sem geta verið afleiðingar bjagaðs samfélags, þar sem mismunandi hópar (eftir uppruna, kyni, stétt, …) eiga ólíka tölfræðilega hlutdeild í til dæmis glæpum, kaupgetu, eða öðrum breytum. En bjögunin getur líka komið fram í reikniritum sem byggja á vélarnámi vegna þess að þau reiknirit eru þjálfuð á tilteknum gagnasöfnum, til dæmis eingöngu hvítum einstaklingum. Þannig hafa einhver reiknirit sem eiga að skynja hvort manneskja sé framundan klikkað á ekki-hvítum manneskjum.

Ég held að það sé mikilvægt að almenningur verði meðvitaðri um það hve reiknirit leika stórt hlutverk í samfélaginu og að það hlutverk hefur stækkað gríðarlega og er enn að stækka mjög hratt. Reiknirit eru ekki hlutlaus, vegna þess að þau byggja á tilteknum forsendum sem einhverjir hafa ákveðið. Ég veit samt ekki hvað er raunhæft. Getur almenningur skilið hvernig reiknirit virka, nema á mjög yfirborðskenndan hátt? Er hægt að kenna einhverskonar reikniritalæsi í skólum? Það er hægt að útskýra hvað reiknirit er, gefa einföld dæmi og ef til vill auka skilning á því hvernig þau eru takmörkuð. En það er erfitt að segja hve mikið sé nóg til að geta myndað sér krítíska afstöðu og rökrætt um þau.

Viðbót:

Þessi texti að ofan er ekki sérlega ákafur, enginn eldmóður í honum. Ég var ekki sérlega upprifinn yfir þessari bók, sennilega vegna þess að hún sagði mér lítið sem ég vissi ekki fyrir. Flest pólitísku og samfélagslegu atriðin hafa þegar verið rædd, til dæmis í bók Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction. En ég tel þetta þá sem bók nr. 2 sem ég les í heild á árinu. Ef fram heldur sem horfir næ ég að lesa sirka 8 bækur á árinu.

Sýn ríkis og reiknirita

Ég setti mér ekki áramótaheiti um lestur tiltekinna fjölda bóka en ég hafði samt í huga að reyna að lesa einhverjar bækur á árinu og halda utan um þær. En hvað er það að lesa bók? Kannski er óþarfi að hugsa of mikið um lestur á skáldskap, ég get lesið hann mér til ánægju án þess að leggja í greiningarvinnu. En hvað með fræðibækur eða hálf-alþýðlegar fræðilegar bækur? Þarf ég ekki að skrifa eitthvað, hugsa eitthvað, draga saman, vinna úr, áður en ég gleymi öllu? Er hægt að hafa lesið bók og samt hraðlesið eða hoppað yfir einhverja kafla?

Í Seeing like a State fjallar höfundurinn James C. Scott um það hvernig skipuleg skráning á flóknum veruleika gegnum staðlaðar, abstrakt mælistærðir og hugtök hefur áhrif á veruleikann. Hann segir að með því að binda líf og starfsemi fólks í slíkan búning fái stjórnendur yfirsýn og tök á lífi og starfsemi fólks. Hann rekur margar dæmisögur til þess að varpa ljósi á þetta:

  • Ríkið staðlaði mælieiningar fyrir lengdir, þyngdir og verðmæti til þess að það gæti lagt skatta á eignir og viðskipti. Ef fólk notar ólík viðmið er allt of auðvelt að svindla. Og öll skráning og utanumhald upplýsinga, og þar með áætlanagerð verður mjög erfið.
  • Ríkið festi eiginnöfn þegnanna til þess að geta talið þá, haldið skrá um þá (til dæmis um herþjónustu, eignir, dóma og svo framvegis). Ég hafði aldrei áður hugsað um þetta, að lókal nafnasiðir kröfðust þess ekki að ein manneskja hefði eitt opinbert nafn.
  • Borgarskipulag fyrri tíðar var svo kaótískt að margskonar stjórnun var mjög erfið. Heimilisföng með tilteknu götuheiti og húsnúmeri eftir einhverju kerfi er seinni tíma uppfinning sem gerir borgirnar læsilegri og sýnilegri.
  • Það kerfi að sérhver landspilda sé nákvæmlega afmörkuð og með skilgreindu eignarhaldi er líka nýrri tíma uppfinning, nauðsynleg fyrir gangvirki kapítalismans, eignaskráningu, skatta, úrskurði dómstóla og svo framvegis. Höfundurinn tekur dæmi um þetta hafi alls ekki verið svona heldur hafi stór hluti lands verið almenningur en einnig hafi verið ýmis önnur eignarform þar sem fjölskyldur eða þorp skiptu með sér landi en þannig að mörkin hafi verið fljótandi og ráðist af ýmsu öðru en landmælingum og flatarmáli.

Meginboðskapurinn er að þegar saman fari hámódernísk hugmyndafræði (einhvers konar vísindatrú), ofurvald stjórnenda og veiklaður almenningur, þá sé hætta á því að valdið fari að móta veruleikann eftir þessum mælistærðum og kategoríum: reisa nýjar borgir frá grunni samkvæmt því skipulagi sem er auðveldast að skrá og stjórna og skipuleggja landbúnað upp á nýtt. Allt út frá því sem lítur „best“ út á korti, með beinum línum og skýrum kerfum, allt samræmt svo það sé auðveldast að reikna í Excel. Þetta leiði hins vegar stundum til mikilla hörmunga vegna þess að abstrakt skipulag tekur ekki tillit til flókins veruleika. Þannig hafi til dæmis tilraunir til að endurskipuleggja landbúnað með þessum hætti leitt til hungursneyða.

Ástæðan fyrir því að ég ákvað að lesa þessa bók var twitter færsla þar sem fólki í gagnavísindum (data science) var bent á að lesa þessa bók, í viðvörunarskyni. Bókin er mjög viðeigandi í því samhengi vegna þess að hún beinir athyglinni að því að þegar gögnum er safnað þá eru þau alltaf abstrakt, þau eru ekki veruleikinn sjálfur, heldur einföldun. Fólk er til dæmis flokkað eftir einhverjum viðmiðum (litur, uppruni, tekjur, aldur, kyn, …). Þegar kerfi og reiknilíkön eru smíðuð vinna þau út frá slíkum einföldunum og þegar þau eru svo notuð til þess að taka ákvarðanir þá eru þau að móta veruleikann eftir þessum tilteknu einföldunum. Það hvernig þessir flokkar eru skilgreindir er í raun hápólitísk ákvörðun, en þetta er oft falið inni í reikniritum (algóritmum) sem fá skilja. Þannig er um að ræða beina tengingu við aðra gagnrýna umfjöllun um „vald reiknirita“ svo sem eins og í bók Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction og bók Hannah Fry, Hello World. Í þessum bókum er til dæmis fjallað um og gagnrýnt það hvernig reiknirit hafa verið notuð til að ákvarða hvort fólk fær lán, ákvarða þyngd refsinga í dómskerfi, hvaða auglýsingar það sér á netinu og til að spá fyrir um glæpi (hvar og hvenær þeir gerist), svo fátt eitt sé nefnt.

Það sem ég er að velta fyrir mér er til dæmis hvort og í hvaða mæli stærðfræðinám geti gert fólk meðvitað og gagnrýnið á vald reikniritanna og þeirra stærðfræðilegu líkana sam hafa mikil áhrif á samfélagið. Í einni fræðigrein stendur til dæmis

A mathematically literate adult should be aware of the danger of the substitution of political, philosophical, social and juridical arguments by numerical arguments that rely on complicated measures. 

Jablonka E. (2003) Mathematical Literacy. Í Bishop A.J., Clements M.A., Keitel C., Kilpatrick J., Leung F.K.S. (ritstj) Second International Handbook of Mathematics Education.

Alltaf þegar ég hugsa um þetta finnst mér eins og þetta gæti verið óraunhæft markmið. Reikniritin eru flókin og á hvaða plani getur almenningur skilið þau? Er hægt að fjalla um þau almennt þannig að gagn sé að, en án þess að farið sé út í línulega algebru, gagnaskipan í tölvum, tölfræðiforritun og svo framvegis?

Tilraun

Tilraunin er útflutningur á OpenProcessing skissu. Hún er inngreypt (embedded) með því að afrita til þess gerðan texta sem birtist í útflutningsræmu sem tilheyrir skissunni í OpenProcessing og líma í WordPress kerfið í kóðunarham. Ég skrifa þetta hér til þess að geta rifjað þetta upp, ég er orðinn nógu gamall til þess að vita að ég þarf að skrifa hluti niður í nokkrum smáatriðum og get ekki treyst á minni eða að ég geti skilið mjög knappar lýsingar sjálfs mín þegar frá líður.

Sokkar í skúffu

Það gæti verið hægt að kenna heilt námskeið í stærðfræði, eingöngu með því að fjalla um spurningar um sokka í skúffu. Á íslensku er til dæmis vinsælt að kynna skúffuregluna (sem er á ensku oftar kölluð „the pigeon hole principle“) með því að spyrja spurninga eins og:

Þú ferð á fætur í niðamyrkri og ljósaperan er sprungin. Í skápnum þínum eru bæði svartir og rauðir sokkar. Hvað þarftu að taka marga sokka úr skápnum til að vera viss um að ná í par af samlitum sokkum?

Hér er önnur spurning, sem á yfirborðinu er ekki ósvipuð:

Í skúffu eru svartir og rauðir sokkar. Ef tveir sokkar eru valdir af handahófi úr skúffunni eru helmings líkindi á að báðir séu rauðir. Hver er minnsti mögulegi fjöldi sokka í skúffunni?

Hér verða auðvitað ekki birtar lausnir á þessum spurningum.

Örlítið um sögu tölvutækni í stærðfræðimenntun

Langt er síðan frumkvöðlar og fræðimenn í stærðfræðimenntun fóru að binda vonir við að tölvur myndu umbylta stærðfræðinámi og -kennslu. Einn af þekktustu talsmönnum þessa er bandaríkjamaðurinn Seymour Papert sem skrifaði eins konar „manífestó“ fyrir slíkar hugmyndir í bókinni Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas (1980). En þrátt fyrir sannfærandi rök og áratuga rannsóknir sem sýna mikla möguleika til þess að gera stærðfræðinám miklu merkingarfyllra og öflugra hefur tækni lítil áhrif haft á stærðfræðikennslu í skólum. Tölvur hafa lítið verið notaðar, og þegar þær eru notaðar er það yfirleitt til þess að endurgera hefðbundið pappírsnámsefni á tölvuskjá en ekki til þess að styðja nýja námshætti eða aðra nálgun á stærðfræði. Kennarar og yfirvöld ímynda sér er yfirleitt að tæknin muni á einhvern hátt gera hefðbundið nám „skilvirkara“, gera það hraðara, markvissara, þægilegra til eftirlits, og hugsanlega „fjölbreyttara“ en þeir nota hana ekki til að breyta stærðfræðinámi eða -kennslu í neinum aðalatriðum. Þetta er staðreynd (staðfest í mörgum rannsóknum um allan heim) þrátt fyrir að í námskrám sé oft og iðulega kveðið á um notkun tækni í stærðfræðinámi. Og því er við að bæta að notkun á tækni í skólastarfi sýnir (samkvæmt stórum safngreiningum (meta-analysis)) engar marktækar breytingar á neinum mældum árangri.

Ríkulegir og dásamlegir möguleikar tölvutækni hafa í raun rekist harkalega á við hefðbundið vinnulag og menningu í skólastofum.

Í því samhengi er áhugavert að velta því fyrir sér hvernig menntahugmyndir umbreytast á leið sinni frá fræðimönnum eða hugsuðum inn í skólana, þannig að það sem átti að vera tæki til könnnar og sköpunar „steingervist“ yfir í „hlut til að kenna“. Skýringarnar á þessu eru flóknar og margslungnar og tengjast tækni, stefnumótun, fjármagni, þekkingu kennara, skólamenningu, prófum og mörgu öðru. Eitt af því sem iðulega gerist er að þeir sem eru í stefnumótun (yfirvöld) fara fram á rannsóknir til að „meta árangur“ af nýjungum. Vandinn er þá við hvað á að bera árangurinn saman. Því eins og Papert benti á:

when the attempt is to generate an exploratory educational environment, where everything regarding teaching and learning process is different, short-term psychometric control-and-experiment-group methodology measures very little of what is actually important

(Papert, 1987)

Mikilvægt er að hafa í huga að einhver tiltekin tækni (eins og tiltekið tölvuforrit) ákvarðar ekki notkun þess eða merkingu. Það er hægt að nota tæknina á „yfirborðskenndan hátt“, til dæmis sem rafræna útgáfu af bókum, reiknivél eða ritvél. Það er hægt að nota hana til hugsunarlausra athafna, samkvæmt þröngum fyrirmælum. Hún getur leitt af sér misskilning og ranghugmyndir. En það er líka hægt að nota hana til að styðja við ígrundun, djúp samskipti og sköpun á merkingarfullum hlutum. Til verða tvíhliða tengsl: annars vegar hefur notandi (nemandi, kennari, …) mótandi áhrif á tækið (tölvuna, forritið) því þekking hans og hugmyndir ráða því hvað hann getur gert við það (e. instrumentalization) og hins vegar hafa notkunarmöguleikar og takmarkanir tækisins áhrif á lausnarleiðir og þær hugmyndir sem eru að verða til hjá notandanum (e. instrumentation). Í stuttu máli: notandinn mótar tækið og tækið mótar notandann.

Samkvæmt skilningi stærðfræðimenntunar (sem fræðasvið) hefur tölvutækni ekki verið notuð til umtalsverðra breytinga á stærðfræðinámi og -kennslu í skólum. Möguleikarnir virðast vera til staðar en flóknar ástæður gera að verkum að þrátt fyrir 40-50 ára kynningu, rannsóknir og átök hefur í raun „ekkert breyst“ (nema mjög yfirborðslega).

Jafnfirða punktar

Til þess að stærðfræðiverkefni skapi frjóar rökræður nemenda á milli þarf að kvikna sjálfsprottin þörf fyrir slíkar rökræður. Til að stærðfræðilegt nám fari fram verður rökræðan að þróast frá hinu „sjónræna“ og að stærðfræðilegum afleiðslurökum, rök til þess að útskýra og staðfesta tilgátur sem vakna við það að leika sér, prófa og horfa á það sem gerist.

Í einu verkefni sem sagt er frá í grein Prusak, Hershkowitz og Schwarz (2012) eru nemendur beðnir að finna miðasölu stað í rétthyrningslaga skemmtigarði þar sem jafn langt er í alla hornpunkta garðsins (vegna þess að þar eru tækin staðsett).

Mynd af skemmtigarðinum úr grein

Hægt er að fást við verkefnið á mismunandi vegu, bæði með hreinni rúmfræði og með því að nýta hnitakerfi. Ég tók út „raunverulega samhengið“ (sem er dálítið gervilegt, þó það sé ekki mjög langt frá því að geta verið „raunverulega raunverulegt“) í GeoGebru-útgáfu af verkefninu sem ég setti inn á GeoGebruvefinn:

Ég veit ekki hver er besta spurningin til að byrja á: „hvar er rauði punkturinn“, „hvernig á að reikna út staðsetninguna á rauða punktinum“, „gætirðu gefið uppskrift að því hvernig hægt er að teikna rauða punktinn á nákvæmlega réttum stað“ eða annað.

Vitnað í: 

Prusak, Hershkowitz og Schwarz, 2012. From visual reasoning to logical necessity through argumentative design

Netafræði: hve margir vegir?

Netafræði er ein grein stærðfræðinnar. Hún kemur líka fyrir í verkfræði og í félagsvísindum. Stærðfræðingar rekja upphaf greinarinnar til svissneska stærðfræðingsins Euler, sem skrifaði fyrstu ritgerðina sem hægt er að segja að falli undir netafræði, árið 1735. Í greininni leysti hann litla þraut sem íbúar borgarinnar Königsberg (sem nú heitir Kaliningrad og tilheyrir Rússlandi) höfðu gaman af því að velta fyrir sér. Hún var um það hvort hægt væri að fara í gönguferð um borgina þannig að farið væri yfir allar sjö brýrnar yfir fljótið Pregel sem rann gegnum borgina, og bara einu sinni yfir hverja brú. Á síðari tímum hefur stærðfræðingum (og mér) þótt skemmtilegt að reyna að vekja áhuga nemenda á netafræði með því að kynna þessa þraut.

Ekki fyrir svo ýkja löngu kynntist ég þó annarri hugmynd: að kynna netafræði gegnum viðfangsefni um félagsleg tengslanet. Greining slíkra neta hefur orðið stærra og stærra umfjöllunarefni, bæði vegna þróunar í félagsvísindum og ekki síður vegna þess að nú í dag tilheyrir fólk stórum félagslegum tengslanetum á internetinu eins og til dæmis á Facebook, og að auki er nú hægt að geyma upplýsingar um stór tengslanet í tölvum og reikna út hluti sem áður hefði tekið gríðalegan tíma.

Svo spurningin er hvort er áhugaverðara fyrir nemendur: hreinar stærðfræðiþrautir, eins og um brýrnar í Königsberg, eða framsetningar á félagslegum strúktúrum, eins og um tengslanet og hvernig hlutir (eins og skilaboð, orðrómar, sjúkdómar, og svo framvegis) flæða um þau?

Í þessu hefti er núna reynt að byrja á tengslanetum:

Rúmfræðibók Descartesar frá 1637

Hér má sjá aðra blaðsíðu í viðauka við bókina Orðræða um aðferð (Discours de la méthode) eftir René Descartes. Viðaukinn heitir Rúmfræðin (La Geometrie) og er talin marka upphaf hnitarúmfræði.

Descartes bls 2

Hönnun síðunar er falleg og athyglisvert að notaðar eru hliðarmálsgreinar („hliðarnótur“) til að gera uppbygginguna skýra.

Þó er innihaldið ennþá áhugaverðara. Efri myndin sýnir hvernig hægt er að margfalda saman tvær tölur með rúmfræðilegri teikningu, ef einingarlengd er gefin. Á myndinni ákveðum við að einingin sé strikið AB (sem telst þá hafa lengdina 1). Tölurnar sem margfalda á saman samsvara strikunum BC og BD. Þau strik má teikna hvernig sem er, svo lengi sem lengdirnar samsvari tölunum sem á að margfalda saman. Þá er teiknað strikið AC og svo er teiknuð lína gegnum D þannig að það sé samsíða AC og fundinn skurðpunktur þeirrar línu og línunnar BC. Sá skurðpunktur er nefndur E. Núna er lengd striksins BE jöfn margfeldi lengda strikanna BC og BD. Ef við leyfum okkur að slá saman strikum og lengdum þeirra, þá er semsagt BC x BD = BE.

Á neðri myndinni er sýnt hvernig hægt er að „reikna“ ferningsrót með teikningu, það er að segja, að teikna strik þannig að lengd þess sé ferningsrót gefinnar lengdar. Hér er ætlunin að finna ferningsrót GH, og einingin er FG. Við finnum miðju FH og nefnum þann punkt K. Teiknum hring með miðju í K (og geisla KH) og teiknum hornrétta línu frá G og finnum skurðpunkt þeirrar línu og hringsins, sem við nefnum I. Þá er strikið GI ferningsrótin sem við vildum finna.

Því sem haldið er fram hér að ofan hefur ekkert verið rökstutt, en það er eftirlátið lesendum að sannfærast um réttmæti þess. Það er hægt að nota sér einslögun þríhyrninga (og þá staðreynd að lengd AB er 1) til að sjá að margföldunin virkar, en fyrir rótardráttinn gæti þurft að þekkja setningu Þalesar og beita einslögun á þríhyrningana FIH og FGI. Þau sem kunna eitthvað í hnitarúmfræði ættu líka að geta tjáð myndirnar á því tungumáli og séð að þetta passar.

Eins og fram kom í upphafi færslunnar er þetta blaðsíða 2 í texta sem talinn er upphaf hnitarúmfræði og venjulega hnitakerfið sem öll læra í skólanum heitir þess vegna líka „kartesíska hnitakerfið“ (Cartesian coordinates) höfundinum til heiðurs. Það sem hann gerði í Rúmfræði var að tengja saman reikning og rúmfræði, þannig að nota mætti rúmfræði til að leysa vandamál í reikningi og algebru, og öfugt. Á síðunni sem sýnd er túlkar hann margföldun, deilingu og ferningsrótardrátt sem aðgerðir á línustrikum, sem var nýjung! Skoðið síðuna aftur og látið gæsahúðina hríslast eftir hryggsúlunni.

Einfaldar spurningar, óvænt svör

Þessa spurningu sá ég í grein eftir John Mason í dag:

Af 200 hlutum eru 98% af einni gerð. Hve marga slíka hluti þarf að fjarlægja til þess að 96% hlutanna verði af þeirri gerð?

Hverskonar svar dettur manni fyrst í hug? Segjum að við skjótum á eitthvað um-það-bil. Ég var mjög langt frá!

Stærðfræðikennsla gæti byggst meira eða minna á spurningum sem þessum, sem vekja undrun, og krefjast þess að við höfum raunverulega stærðfræði á valdi okkar, eða finnum hana út. (Hér er aðeins um basic bókstafareikning að ræða, nú eða einhverskonar háþróaða hlutfallahugsun.)

Andstæðan eru verkefni þar sem lausnin er augljós með eða án stærðfræði, eða vekur engan áhuga.

Brot af vinnu kennara

Nýtt vinnumat framhaldsskólakennara var fellt. Um það má margt segja, en það verður ekki hér. Hér eru tveir hlutir sem ég hef unnið að og búið til, sem virðist ekki gert ráð fyrir að ég geri samkvæmt kjarasamningi, því tíminn sem það tekur að búa svona til er svo sannarlega miklu meiri en 20 mínútur „á kennslustund“. Inn í vinnumatið er nefnilega ekki tekið framleiðsla á námsefni, þróun nýjunga, eða annað slíkt. Ég birti þetta hér ef einhver skyldi vilja nota þetta, eða fá hugmyndir af því að sjá þetta.

1. Mannfjöldi á Íslandi

Þetta er búið til á vefsíðunni Desmos. Í skjalinu er tafla yfir mannfjölda á Íslandi samkvæmt Hagstofunni. Einnig er þar vísisfall með stikum sem hægt er að breyta, og annað fall sem er línufall. Hægt er að sjá og fela föllin með því að smella á hringina vinstra megin við þau.

Hægt er að nota tölurnar til að æfa einfaldan prósentureikning (hve mikið fjölgaði Íslendingum á árabilinu ….?) eða „flóknari“ prósentureikning (um hve mörg prósent fjölgaði Íslendingum að meðaltali á árabilinu …?) eða til að kynna vísisvöxt og vísisföll og það að finna stærðfræðilegt líkan (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?)

2. Hitastig í Reykjavík

Í skjalinu er tafla yfir mánaðarlegt meðalhitastig í Reykjavík samkvæmt Veðurstofunni, frá 1. janúar 2011 til 1. janúar 2015. Einnig er þar sínusfall með stikum sem hægt er að breyta.

Hægt er að nota tölurnar til að kynna það að finna stærðfræðilegt líkan af lotubundum fyrirbærum með hornaföllum (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?) Hér er ekkert farið út í flóknari líkön sem gætu virkað betur (bæta við fleiri bylgjum ofan á), en þó er þetta dæmi um eitthvað þar sem þarf annað en línulegt, veldis- eða vísisfall.