Föndurverkefni um föll

Í stað þess að eyða tímanum í að þjálfa nemendur í að herma eftir reiknitækjum (til að ná færni í því að umbreyta táknarunum innan sama framsetningarháttar) vil ég að nemendur búi til tengingar milli framsetningarkerfa, meðal annars milli framsetninga á aðstæðum á tiltölulega vernjulegu tungumáli og framsetninga á stærðfræðitáknmáli svo og framsetninga eins og línurita. Eitt verkefni sem nemendur (1. bekk á félagsvísindabraut) gerðu í vikunni, var að klippa út, flokka og para saman ólíkar framsetningar á föllum. Þeir fengu eftirfarandi blöð, og áttu að klippa út miðana:

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.15 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.06 PM

Athugið að það vantar nokkrar framsetningar og að það getur verið að tvær framsetningar innan sama háttar séu jafngildar.

Nemendur á þessu stigi þurfa dálítinn stuðning og samræðu við kennara til að ráða fram úr þessu, en með því að tala saman náðu þeir að gera þetta mjög vel. Þeir notuðu líka reikni- og teiknivélina Desmos (á tölvum og/eða símum) til að aðstoða sig. Ég birti hérna eina lausn (við skiptum þessu á tvö plaköt, svo hér eru bara tveir framsetningarhættir tengdir saman.)

Lausn_klippa_lima_foll

Krotað er yfir nöfn nemenda…

(Fyrir þá smámunarsömu: Það mætti gagnrýna örfá línurit fyrir að sýna gildi sem hafa ekki merkingu í samhengi við textann (t.d. neikvæðar hliðarlengdir.))

Nú þarf ég að setja meiri fókus á það hvernig nemendur geta unnið saman þannig að þeir læri sem mest og allir fái að vera með, þau æfi sig í að hlusta og ræða um hugmyndir hvers annars.

Að þrasa, jáa eða leita sannleika

Nú verður hópverkefni krakkar.

Margir vina minna þola ekki „að vinna hópverkefni“. Þoldu þau ekki í grunnskóla, framhaldsskóla eða háskóla. Sjálfur var ég ekki hrifinn af þeim, þangað til á seinni árum – nema stundum þegar ég fékk að vinna með góðum vinum mínum. Ástæðurnar eru til dæmis að það er ömurlegt að lenda í hópi með fólki sem hefur engan áhuga á verkefninu, eða segir tóma vitleysu.

Stærðfræðikennarar eru margir ragir við að láta nemendur vinna saman. Telja líklega að þá sleppi einhverjir við lærdóm sem þeir hefðu annars hlotið. Sumir gera þetta þó, og leyfa nemendum að reikna saman. En oft leiðir það ekki til mikilla breytinga. Nemendur bera kannski saman svörin og benda hvort öðru á eitt og eitt atriði. Ávinningur af þessu er oft frekar lítill.

Neil Mercer setti fram hjálplega flokkun samtala, sem hjálpar okkur að hugsa um aðstæður sem þessar. Skiptingin er auðvitað gróf einföldun á raunverulegu tali, en hún er gagnleg engu að síður. Talinu skiptir hann í þras (disputational talk), að jáa (cumulative talk), eða leitandi tal (exploratory talk). Ég ber einn ábyrgð á þessum hálfkæringslegu íslensku heitum.

Þegar fólk þrasar þá vill það ekki sjá hlutina frá sjónarhorni hinna. Það ítrekar eingöngu sína eigin skoðun án þess að taka tillit til þess sem aðrir leggja fram. Samtalið verður samkeppni. Þetta þarf ekki að vera reiðilegt eða tilfinningaríkt. Til dæmis getur fólk verið „sammála um að vera ósammála“ og hvort sína skoðun. Lykilatriðið er að taka ekki orð hins inn í sína eigin hugsun. Dæmi úr stærðfræðikennslustofunni:

– Svarið er 17.

– Nei það er 14.

– Ég held að það sé 17.

– Ég held að það sé 14.

Þegar fólk jáar, byggja viðmælendur gagnrýnislaust á hvers annars framlagi, bæta við upplýsingum og skapa saman þekkingu og skilning. Í þessum ham getur fólk saman búið til röksemdarfærslur ef það er fyrirfram sammála. Hver og einn styrkir sannfæringu sína í krafti hópsins.

– Svarið er 17.

– (skrifar: 17) En næsta?

– Þar er það 14.

(Og svo framvegis)

Í leitandi tali reyna viðmælendur að skilja framlög annarra á gagnrýninn og uppbyggjandi hátt. Upplýsingar eru lagðar fram til sameiginlegrar íhugunar. Tillögur og gagntillögur eru settar fram, en í öllum tilvikum eru settar fram ástæður og stungið upp á öðrum möguleikum. Reynt er að ná fram samkomulagi sem veitir grunn að árangri og framvindu. Þekking og römsemdir eru opinberar (viðmælendur halda upplýsingum og ástæðum sínum ekki fyrir sig).

– Svarið er 16, vegna þess að froskurinn fer tvö skref á dag.

– En hvað ef … síðasta daginn kemst hann alla leið upp, og rennur ekki aftur niður?

– Ó þá þurfum við að telja upp á nýtt… er þetta þá 15?

(Og svo framvegis)

Þessi dæmi eru auðvitað mjög frumstæð en ég vona að þau gefi einhverja hugmynd. Önnur leið til að taka saman megin einkenni á afstöðu í þessum talsháttum er: í leitandi tali eru sett á bið bæði sjálfvirk ógagnrýnin „já“ (eins og í jáun) og sjálfvarnar „nei“ (eins og í þrasi). Í staðinn fer fram samtal þar sem mismunur er ræddur opinskátt og ástæður gefnar og metnar. Í stað þess (sem oft gerist) að viðmælendur einbeiti sér að sínum hagsmunum,  félagslegri stöðu eða virðingu gagnvart hinum, reyna þeir að uppgötva nýjar leiðir til að skapa merkingu.

Og þá er komið að því að segja hið augljósa: það er mikill vandi að skapa leitandi samræður. Það gerist ekki af sjálfu sér. Tungumál og samskipti eru gríðarlega öflug tæki til að læra, en það þarf að gera það meðvitað. Það getur verið nauðsynlegt að æfa sig og veita nemendum stuðning. Til dæmis með því að ræða við þá um þessar þrenns konar samræður. Biðja þá um að hlusta vel á hugmyndir annara en spyrja líka: hvers vegna? Og þegar þeir tala sjálfir, að nota orð eins og „vegna þess að“.

Stærðfræði er listin að útskýra, segir Paul Lockhart í frægri ritgerð (sem allir ættu að lesa). Nemendur eiga að útskýra fyrir öðrum og hlusta á og meta útskýringar annarra. Annars eru þeir ekki að læra stærðfræði.