Hvernig á að drepa stærðfræði?

Í bókinni STÆ-203 sem ég hef minnst á nýlega er fyrsti kaflinn um „mengjareikning“ en annar kaflinn er um „talnareikning“ en það þýðir m.a. (fyrsti undirkafli) að þátta náttúrlegar tölur í frumþætti. Það er engin tenging, þráður eða samhengi milli þessara kafla. Á þriðju blaðsíðu þessa kafla (bls. 23 í bókinni) er sett fram regla (án þess að á undan fari einhverjar pælingar eða spurningar um hana eða það sem hún fjallar um):

STÆ_203_R2.2_FrumtölurEf til vill er nauðsynlegt að ítreka að hér hefur ekkert farið á undan, til dæmis spurningar eins og:

  • Eru frumtölur endanlega margar?
  • Eru tölur á borð við 2 x 3 x 5 + 1 eða 2 x 3 x 5 x 7 + 1 (osfr) nauðsynlega frumtölur?
  • Ef 2 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 2 þá nauðsynlega upp í a eða b?
  • Ef 4 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 4 þá nauðsynlega upp í a eða b?

Það sem vísað er til í sönnuninni er regla 2.1 sem er svona sett fram (og allur kaflinn fram að því):

STÆ_203_R2.1_Grunnregla

Varla þarf að taka fram að regla 2.1 er sett fram án sönnunar. Það er hvorki tekið fram að það er hægt að sanna hana (en sönnunin er hins vegar ekki „viðeigandi“ fyrir lesendahópinn) né gefið til kynna að reglan sé ekki augljós.

Til samanburðar er hér brot úr bókinni Málsvörn stærðfræðings (í þýðingu Reynis Axelssonar):

Málsvörn_Frumtölur_1

Málsvörn_Frumtölur_2Nú kann sumum að finnast upphafning Hardy óviðeigandi í kennslubók (af hverju samt?) En þetta efni, þessi regla (eða setning, eins og við segjum í stærðfræðinni) hefur engan annan tilgang en þann að dást að henni. Hún hefur enga praktíska þýðingu fyrir nemendur, hjálpar þeim ekki að leysa nein hversdagsleg eða fræðileg viðfangsefni, ekki einu sinni í stærðfræði. Nema þeir fari út í talnafræði í framhaldsnámi á háskólastigi. Og það er reyndar merkileg staðreynd að þessi setning hefur hagnýtan tilgang, sem tengist (m.a.) dulritun gagna. En það er ekki efni sem nemendur á þessu stigi tengja við eða gera nokkuð með, þó að það sé fínt að segja þeim frá því (það er ekki minnst á þetta í bókinni).

Eini hagnýti tilgangurinn er fagurfræðilegur og hugsanlegur stærðfræðilegur þroski – en hann fæst ekki nema að nemendur pæli dálítið í þessu og fái tækifæri til þess að spyrja spurninga sem svarað er með reglunni.

Og svona í lokin: ég segi nemendum alltaf frá tvíburafrumtölum (twin primes) í þessu samhengi. Eru til óendanlega mörg pör af frumtölum sem eru þannig að mismunur talnanna er 2? (Dæmi: 5 og 7, 41 og 43). Þessu er enn ósvarað – hvað heldur þú? (Síðastliðið vor vakti athygli þegar áður óþekktur stærðfræðingur, Yitang Zhang, sannaði að til er tala N sem er í mesta lagi 70.000.000 sem er þannig að til eru óendanlega mörg pör af frumtölum þannig að munurinn á þeim er minni en N.)