Brot af vinnu kennara

Nýtt vinnumat framhaldsskólakennara var fellt. Um það má margt segja, en það verður ekki hér. Hér eru tveir hlutir sem ég hef unnið að og búið til, sem virðist ekki gert ráð fyrir að ég geri samkvæmt kjarasamningi, því tíminn sem það tekur að búa svona til er svo sannarlega miklu meiri en 20 mínútur „á kennslustund“. Inn í vinnumatið er nefnilega ekki tekið framleiðsla á námsefni, þróun nýjunga, eða annað slíkt. Ég birti þetta hér ef einhver skyldi vilja nota þetta, eða fá hugmyndir af því að sjá þetta.

1. Mannfjöldi á Íslandi

Þetta er búið til á vefsíðunni Desmos. Í skjalinu er tafla yfir mannfjölda á Íslandi samkvæmt Hagstofunni. Einnig er þar vísisfall með stikum sem hægt er að breyta, og annað fall sem er línufall. Hægt er að sjá og fela föllin með því að smella á hringina vinstra megin við þau.

Hægt er að nota tölurnar til að æfa einfaldan prósentureikning (hve mikið fjölgaði Íslendingum á árabilinu ….?) eða „flóknari“ prósentureikning (um hve mörg prósent fjölgaði Íslendingum að meðaltali á árabilinu …?) eða til að kynna vísisvöxt og vísisföll og það að finna stærðfræðilegt líkan (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?)

2. Hitastig í Reykjavík

Í skjalinu er tafla yfir mánaðarlegt meðalhitastig í Reykjavík samkvæmt Veðurstofunni, frá 1. janúar 2011 til 1. janúar 2015. Einnig er þar sínusfall með stikum sem hægt er að breyta.

Hægt er að nota tölurnar til að kynna það að finna stærðfræðilegt líkan af lotubundum fyrirbærum með hornaföllum (hvaða fall fellur best að gögnunum, hvernig er hægt að spá fyrir um framtíðina?) Hér er ekkert farið út í flóknari líkön sem gætu virkað betur (bæta við fleiri bylgjum ofan á), en þó er þetta dæmi um eitthvað þar sem þarf annað en línulegt, veldis- eða vísisfall.

 

Hvítþvottur og svartar skýrslur (færsla 2 af 100)

Hér verður tæpt á nokkrum mögulegum ástæðum þess að því hvers vegna stærðfræði verður útundan í stærðfræðikennslu. Hér er auðvitað notað ögrandi orðalag, en það sem við er átt er útskýrt í síðustu færslu, en verður mér þó tilefni til að skella fram einni tilvitnun í viðbót, úr eldri skýrslu, Markmið stærðfræðikennslu í grunnskólum og framhaldsskólum – Skýrsla nefndar til að koma með tillögur um hvernig efla megi námsgreinina stærðfræði og stærðfræðiáhuga nemenda í skólakerfinu (1998):

röksemdafærslur [eru] lífblóð stærðfræðinnar, og því má með sanni segja að þegar lítil áhersla er lögð á þær í stærðfræðikennslu eða þeim jafnvel alveg sleppt, þá sé alls ekki verið að kenna fólki stærðfræði, heldur eitthvað allt annað, til dæmis einhverskonar reiknitækni. 

En til að útskýra um hvað málið snýst gæti verið gott að benda á nokkra punkta:

  • skólastærðfræði og stærðfræði eru ekki það sama, og geta ekki verið það sama, en tengsl þessara tveggja fyrirbæra eru engu að síður margslungin, umdeild, og umdeilanleg. Það er erfitt að útskýra þennan mun til fullnustu fyrir þeim sem hefur ekki nokkuð mikla menntun í stærðfræði. Ég geri ráð fyrir að tengsl margra annarra fræðigreina við skólanámsgreinar séu líka þannig. Til dæmis halda eflaust margir að málfræði sem fræðigrein snúist um að taka saman hvað sé „rétt“ mál og hvað sé „rangt“ mál.
  • skólastærðfræði þjónar fleiri hlutverkum en að undirbúa nemendur undir frekara nám þar sem reynir á kunáttu eða getu í stærðfræði, og sum þeirra eru líklega mörgum hulin. Eitt þessara hlutverka er að vera grein sem býður upp á mælitæki sem hægt er að setja fram sem „hlutlægt“ í því að gera upp á milli fólks. Til dæmis eru kröfur um ákveðinn árangur í stærðfræðiprófum til að útskrifast eða til upptöku í nám. Oft er um að ræða nám þar sem umrædd stærðfræði kemur lítið við sögu. Inntökupróf fyrir læknisfræði er dæmi um þetta. Sú stærðfræðiþekking sem prófuð er þar virðist ekki tengjast læknisfræði sérlega mikið. Sumir gagnrýnir stærðfræðimenntunarfræðingar halda því fram að þetta sé hið eiginlega hlutverk stærðfræðinnar í skólakerfinu, og það sé okkar þjóðfélagsskipan nauðsynlegt. Ef stærðfræðin hættir að hafa þetta hlutverk, þá verður eitthvað annað fundið í staðinn. Okkar samfélag mun alltaf finna einhvern mekanisma til að stjórna því hverjir vinna láglauna/lágvirðingarstörf sem ekki krefjast menntunar.
  • það er miklu erfiðara að kenna stærðfræði en að kenna reiknitækni. Til þess þarf djúpan skilning á stærðfræði og stærðfræðinámi, það þarf vissan sveigjanleika í námsefni sem útilokar algera stöðlun og staðlað námsmat, og það næst alls ekki að „fara yfir“ jafn langa lista af efnisatriðum. Það þarf líka meiri vinnu við námsefnisgerð og endurgjöf.

Ef við veltum fyrir okkur samspili tveggja síðustu punktana þá sjáum við að til þess að breyta kennslu í stærðfræði á einu skólastigi þá þurfa næstu skólastig líka að breytast. Ef inntökupróf í eftisótt háskólanám prófar nemendur eingöngu í lítilsverðum sparðartíningi eða reiknitækni, þá munu framhaldsskólar einbeita sér að því að kenna slíkt.

Ef inntökuskilyrði í eftirsótt háskólanám eru um tiltekin efnisatriði, verður forgangur að „fara yfir“ þau atriði. Ef hin æðri skólastig (eða atvinnurekendur þess vegna) hafa ekki trú á getu framhaldsskóla til að útskrifa nemendur sem geta hugsað stærðfræðilega í alvöru, það er rökfasta, gagnrýna, greinandi og skapandi hugsun, undirbyggð af sjáfstrausti, forvitni og löngun til að rannsaka og leita lausna á hinu óþekkta, þá munu þau byggja kröfur sínar á hinum fátæklegu og oft innantómu þekkingaratriðum og reikniaðferðum.

Tvö þemu eru vel þekkt innan orðræðu um umbætur í stærðfræðinámi og -kennslu. Annars vegar er meint íhaldssemi eða þekkingarskortur kennara, hins vegar stífir og staðlaðir rammar skólakerfisins sem halda niðri umbótum í kennslu. Reyndar er all nokkuð liðið frá því að innan (fræðasviðsins) stærðfræðimenntunar færðist áherslan yfir á leiðir til að styðja og styrkja kennara í starfi (frá því að birta greinar sem lýsa því hve lélegir þeir séu). Samfélagsleg staða greinarinnar og rammar skólakerfisins eru að mínu mati erfiðari viðureignar, en það verður bæði að vinna að því að bæta þá ramma og auka sveigju.

Við þetta þarf að bæta umræðu um nám og skóla almennt og hlutverk þeirra. Svo lengi sem við erum ofurseld markaðsröksemdum, sem ganga út á að hámarka afköst og skilvirkni okkar allra, er erfitt að höfða til eldri gilda og markmiða með menntun. Ef markmiðið er að útskrifa sem flesta á sem skemmstum tíma og meta öll frávik í töpuðum vinnustundum og tekjum þá er einhvern veginn ekki hægt að ræða um það að markmið stærðfræðináms, eins og annars náms gætu verið aukin lífsfylling, dýpra og ríkulegra andlegt líf, auknir möguleikar til að hafa áhrif á heiminn, bæði hinn félagslega og efnislega, eða hreinlega aukin lífsnautn. Sem er eitthvað sem stærðfræðin hefur gefið mér.

Góður kennari útskýrir vel … eða ekki.

Eitt af því merkilegra sem ég hef lært um stærðfræðikennslu er eftirfarandi „lögmál“:

Eftir því sem kennarinn sýnir skýrar og nákvæmar hvaða atferli hann vill sjá hjá nemendum, þeim mun auðveldara er fyrir nemendur að sýna atferlið án þess að skilningur liggi að baki.

Hér getur atferli til dæmis þýtt reikniaðferð, svör, lausnir verkefna. Ef til vill á þetta við um fleira en stærðfræðikennslu en ég las um þetta fyrst fyrir nokkrum árum hjá John Mason sem hafði þetta eftir franska stærðfræðimenntunarfræðingnum Guy Brousseau. Þeir nefna þetta fræðslutogstreituna (the didactic tension).

calvin2

 

Það er ekki hægt að „losna“ undan þessari togstreitu. Verkefnið er að lifa í henni og nýta orkuna í spennunni í kennslu án þess að láta hana, tja, toga sig í sundur. Það er freistandi fyrir kennara að vera hjálpsamur, útskýra betur og ítarlegar og reikna fleiri sýnidæmi. Nemendur vilja gjarnan fá sýnidæmi af öllum gerðum sem gætu mögulega komið á prófi. En eftir því sem kennari gerir þetta „betur“ þeim mun líklegra er að nemendur missi af því sem þeim er ætlað að læra á því að leysa verkefnið og þeim alhæfingum sem tilgangurinn með verkefninu er að þeir taki eftir. Afleiðingin verður gjarnan að nemendur geta ef til vill leyst stöðluð dæmi en þeir eru ráðalausir ef þeir eru beðnir að fást við eitthvað sem er að einhverju leyti nýtt fyrir þeim.

Kennari þarf stöðugt að vega og meta annars vegar þörf nemenda fyrir öryggi og sýnilegan árangur og hins vegar þörf nemenda til að rækta hæfileika sína til stærðfræðilegrar hugsunar með því að takast sjálf (en oft í samvinnu við aðra) á við hið nýja.

(Ég var að endurlesa um þetta efni í frábærri bók Masons, Mathematics Teaching Practice: Guide for university and college lecturers.)

Að þrasa, jáa eða leita sannleika

Nú verður hópverkefni krakkar.

Margir vina minna þola ekki „að vinna hópverkefni“. Þoldu þau ekki í grunnskóla, framhaldsskóla eða háskóla. Sjálfur var ég ekki hrifinn af þeim, þangað til á seinni árum – nema stundum þegar ég fékk að vinna með góðum vinum mínum. Ástæðurnar eru til dæmis að það er ömurlegt að lenda í hópi með fólki sem hefur engan áhuga á verkefninu, eða segir tóma vitleysu.

Stærðfræðikennarar eru margir ragir við að láta nemendur vinna saman. Telja líklega að þá sleppi einhverjir við lærdóm sem þeir hefðu annars hlotið. Sumir gera þetta þó, og leyfa nemendum að reikna saman. En oft leiðir það ekki til mikilla breytinga. Nemendur bera kannski saman svörin og benda hvort öðru á eitt og eitt atriði. Ávinningur af þessu er oft frekar lítill.

Neil Mercer setti fram hjálplega flokkun samtala, sem hjálpar okkur að hugsa um aðstæður sem þessar. Skiptingin er auðvitað gróf einföldun á raunverulegu tali, en hún er gagnleg engu að síður. Talinu skiptir hann í þras (disputational talk), að jáa (cumulative talk), eða leitandi tal (exploratory talk). Ég ber einn ábyrgð á þessum hálfkæringslegu íslensku heitum.

Þegar fólk þrasar þá vill það ekki sjá hlutina frá sjónarhorni hinna. Það ítrekar eingöngu sína eigin skoðun án þess að taka tillit til þess sem aðrir leggja fram. Samtalið verður samkeppni. Þetta þarf ekki að vera reiðilegt eða tilfinningaríkt. Til dæmis getur fólk verið „sammála um að vera ósammála“ og hvort sína skoðun. Lykilatriðið er að taka ekki orð hins inn í sína eigin hugsun. Dæmi úr stærðfræðikennslustofunni:

– Svarið er 17.

– Nei það er 14.

– Ég held að það sé 17.

– Ég held að það sé 14.

Þegar fólk jáar, byggja viðmælendur gagnrýnislaust á hvers annars framlagi, bæta við upplýsingum og skapa saman þekkingu og skilning. Í þessum ham getur fólk saman búið til röksemdarfærslur ef það er fyrirfram sammála. Hver og einn styrkir sannfæringu sína í krafti hópsins.

– Svarið er 17.

– (skrifar: 17) En næsta?

– Þar er það 14.

(Og svo framvegis)

Í leitandi tali reyna viðmælendur að skilja framlög annarra á gagnrýninn og uppbyggjandi hátt. Upplýsingar eru lagðar fram til sameiginlegrar íhugunar. Tillögur og gagntillögur eru settar fram, en í öllum tilvikum eru settar fram ástæður og stungið upp á öðrum möguleikum. Reynt er að ná fram samkomulagi sem veitir grunn að árangri og framvindu. Þekking og römsemdir eru opinberar (viðmælendur halda upplýsingum og ástæðum sínum ekki fyrir sig).

– Svarið er 16, vegna þess að froskurinn fer tvö skref á dag.

– En hvað ef … síðasta daginn kemst hann alla leið upp, og rennur ekki aftur niður?

– Ó þá þurfum við að telja upp á nýtt… er þetta þá 15?

(Og svo framvegis)

Þessi dæmi eru auðvitað mjög frumstæð en ég vona að þau gefi einhverja hugmynd. Önnur leið til að taka saman megin einkenni á afstöðu í þessum talsháttum er: í leitandi tali eru sett á bið bæði sjálfvirk ógagnrýnin „já“ (eins og í jáun) og sjálfvarnar „nei“ (eins og í þrasi). Í staðinn fer fram samtal þar sem mismunur er ræddur opinskátt og ástæður gefnar og metnar. Í stað þess (sem oft gerist) að viðmælendur einbeiti sér að sínum hagsmunum,  félagslegri stöðu eða virðingu gagnvart hinum, reyna þeir að uppgötva nýjar leiðir til að skapa merkingu.

Og þá er komið að því að segja hið augljósa: það er mikill vandi að skapa leitandi samræður. Það gerist ekki af sjálfu sér. Tungumál og samskipti eru gríðarlega öflug tæki til að læra, en það þarf að gera það meðvitað. Það getur verið nauðsynlegt að æfa sig og veita nemendum stuðning. Til dæmis með því að ræða við þá um þessar þrenns konar samræður. Biðja þá um að hlusta vel á hugmyndir annara en spyrja líka: hvers vegna? Og þegar þeir tala sjálfir, að nota orð eins og „vegna þess að“.

Stærðfræði er listin að útskýra, segir Paul Lockhart í frægri ritgerð (sem allir ættu að lesa). Nemendur eiga að útskýra fyrir öðrum og hlusta á og meta útskýringar annarra. Annars eru þeir ekki að læra stærðfræði.

 

Meiri pening fyrir góða kennara

Væri ekki sniðugt að borga skilvirkum kennurum hærri laun en hinum lélegri?

Sem betur fer heyrist þessi spurning eða krafa ekki mikið í umræðunni hér á landi. Þó hef ég lesið eina eða tvær blaðagreinar þar sem þetta er lagt til. Það að trúa því að þetta geti verið góð hugmynd er háð því að maður hafi ákveðna tegund af sýn á manneskjur og samfélag. Þessa sýn má finna víða en hún er algengust meðal svokallaðra hægrimanna.

En hún er röng. Hún er ekki bara vond af prinsippástæðum, pólítík eða siðferði. Kenningin um að upptaka peningalegra hvata af þessu tagi fyrir kennara hefur nýlega verið rannsökuð nokkuð ítarlega. Og í ljós hefur komið að hún stenst enga skoðun.

Hér eru tenglar á fréttir og útdrætti um nokkrar nýlegar bandarískar rannsóknir:

Rannsókn National Center on Performance Incentives at Vanderbilt University’s Peabody College of education and human develoment og RAND Corporation í Nashville.

Rannsókn National Bureau of Economic Research á hvatakerfi sem komið var á hjá kennurum í New York.

Rannsókn RAND Corporation á hinu sama, og

Frétt New York Times (2011) um það þegar hvatakerfið þar var loks afnumið (vegna einskis árangurs).

Veruleikinn samræmist ekki einfeldningslegri sýn hægrimannsins.

Mýtur eða sjálfsagðir hlutir: fyrsti þáttur af 729

„Bara ef einhver bryti þetta niður og útskýrði nógu vel – þá myndu fleiri skilja.“

„Góðir kennarar gera flókið efni einfalt.“

Maður kemst ekki hjá því að hafa alls konar skoðanir og ómeðvitaðar kenningar um allt mögulegt í heiminum. Þær byggja auðvitað á þeirri reynslu sem maður hefur og því sem maður skynjar og heldur og man. Kannski má kalla þetta „almenna skynsemi“. Fræði og vísindi reyna að gera betur en almenn skynsemi með því að safna gögnum og skoða þau mjög nákvæmlega og rökstyðja niðurstöður vandlega. Ef vísindi og fræði gæfu sömu niðurstöður og almenn skynsemi væru þau frekar lítils virði.

Nánast allir hafa gengið í skóla og þess vegna telja margir sig vita eitt og annað um menntun. Flestir hafa líka heyrt eitt og annað fullyrt um skóla hér og þar. Fólk á sextugs- og sjötugsaldri telur sig muna hvernig fólki vegnaði almennt í skólum fyrir langalöngu. Einn þeirra er Sighvatur Björgvinsson fyrrverandi ráðherra sem ritaði grein í Fréttablaðið í fyrradag. Var á honum að skilja að allir hafi verið vel læsir og reiknandi í gamla daga þrátt fyrir að kennarar hefðu ekki verið háskólamenntaðir. Auk þess hefði einhvern tíma verið ákveðið að nemendur þyrftu ekki að kunna neitt og aldrei standa skil á neinu. Þetta sagði faðir hans honum og spáði því að allt ætti eftir að fara til fjandans vegna þessa.

Það ætti náttúrlega að vera óþarfi að svara eða fjalla um svona vitleysu. Ef litið er kalt á staðreyndir þá eru Íslendingar miklu meira menntaðir í dag en þegar Sighvatur var í skóla. Ekki eingöngu í prófgráðum talið heldur eru miklu fleiri að fást við þekkingarsköpun með einum eða öðrum hætti og vinna störf sem krefjast mikillar þekkingar. Þetta á við um menningarstarfsemi og alls konar tækniiðnað og margt fleira. Nemendur á Íslandi eru ekkert lélegir í alþjóðlegum samanburði þó að þeir séu ekki efstir. Í gamla daga voru hinir „ólæsu“ geymdir í tossabekkjum og fengu ekki að fara í neitt nám eftir barnaskóla. Ekki nema örlítið brot af hverjum árgangi fékk inngöngu í menntaskóla.

Svo heimurinn er ekki að farast. Hitt er annað mál að sitthvað er menntun og skólaganga og allar þær klisjur sem eru Íslendingum kærar. Og margt mætti breytast í skólum. En tímarnir breytast og núna eru möguleikar þess að verða gildandi í samfélaginu án háskólaprófs sífellt að minnka. Ég ætla ekki að hafa fleiri orð um það hér því þau mál eru flókin.

Jú, ég ætlaði að minnast á eina vitleysuna í viðbót en það er sú hugmynd að nemendur þurfi ekki að læra hluti utanbókar eða taka próf og þetta hafi gerst fyrir allnokkru síðan. Þarna er ruglað saman hugmyndum og hugsjónum um betra og merkingarfyllra nám og raunverulegu skólastarfi. Hér hefur utanbókarlærdómur lifað ágætu lífi og nemendur verið prófaðir í gríð og erg. Svo ef einhver skýring er á meintum lélegum árangri þá er það kannski frekar einmitt vegna þess.

En þetta var nú ekki aðalatriðið. Það var hugmyndin um góða kennarann sem útskýrir vel. Staðreyndin er að nám er erfitt og ef þér finnst það létt þá ertu líklega ekki að læra mikið. Rannsóknir sýna til dæmis að nemendur sem horfa á kennslumyndbönd með frábærum útskýringum finnst þeir læra mjög mikið og skilja vel. En þegar betur er að gáð þá reynast þeir ekki hafa lært neitt. Heimildir um þetta eru hérna. Og best ég smelli myndbandinu inn líka.