Hvað tölum við um þegar við tölum um menntun?

Í dag flutti ég 5 mínútna erindi á málþingi til heiðurs Herði Bergmann:

Sú umræða sem er ráðandi leggur áherslu á að menntakerfið þjóni því sem stundum er nefnt verðmætasköpun, hagvöxtur, eða atvinnulíf, en aldrei fjármagn eða kapítal sem ég tel reyndar réttasta orðið. Um þetta mætti nefna mörg dæmi en ég nefni bara síðustu útskriftarræðu rektors Háskóla Íslands og nýlega skýrslu Starfshóps um samþættingu mennta- og atvinnumála á vegum Alþingis sem skilaði skýrslu fyrir um ári síðan. Í þessari orðræðu er gengið út frá því að Ísland sé einskonar fyrirtæki sem sé í samkeppni við erlend fyrirtæki, og íbúar á Íslandi séu á einhvern hátt saman í liði. Algengt er að tala um að tilgangur menntakerfisins sé að framleiða „samkeppnishæft vinnuafl“, efla getu nemenda til „nýsköpunar“ (og þá er átt við að finna upp leiðir til að búa til peninga), og talað er um mikilvægi þess að „auka skilvirkni í menntakerfinu“. Þetta felur meðal annars í sér að útskrifa fleira fólk með einhvers konar skírteini, stytta skólagöngu, og miða nám við einstaklinga en ekki hópa, og að beina hverjum nemenda inn á námsbraut við sitt hæfi.

Af þessari orðræðu sem og öðrum staðreyndum málsins má draga ályktanir. Við sem teljum okkur beita gagnrýnni hugsun og víðsýni, komumst yfirleitt að þeirri niðurstöðu að menntakerfið okkar, eins og reyndar menntakerfi annara landa, snúist ekki fyrst og fremst um nám. Virkni þess er ekki síður sú að geyma ungt fólk á vísum stað yfir daginn, samræma reynslu þess, venja það við að fara eftir fyrirmælum og gera hluti sem hafa engan sýnilegan tilgang, og síðast en ekki síst, flokka fólk og dæma. Skólarnir úthluta nemendum einkunnum og prófskírteinum sem svo eru notuð til að ákveða hverjir mega fara hvert í framhaldinu, hverjir fá að verða lögfræðingar, læknar og verkfræðingar og hverjir fá að vinna á kassanum í kjörbúðinni.

Ég geng svo langt að segja að sjálfur kjarni og drifkraftur menntakerfisins sé sú virkni þess að flokka fólk og gefa nemendum sjálfum og samfélaginu upplýsingar um hvers konar fólk það er og hvar það á að lenda í stigveldi kapítalísks samfélags. Það er hagkerfi þar sem gjaldmiðillinn er prófskírteini. Skiptagildi námsins er þannig mikilvægara en notagildi.

Á Íslandi gerist þetta aðallega á framhaldsskólastigi: nemendur sem eru börn menntamanna og millistéttar fara í eftirsótta framhaldsskóla og hitta þar aðra af sömu stétt. Og ég spyr: hvað er unnið með því að hópa saman þá sem eiga menntaða eða vel stæða foreldra? Eða öllu heldur hver er það sem hagnast á því?

Þegar ég hef talað fyrir því að framhaldsskólum verði meinað að velja nemendur inn eftir einkunnum á grunnskólaprófi fæ ég yfirleitt mjög sterk neikvæð viðbrögð. Á ekki að umbuna þeim nemendum sem sýna náminu áhuga, eiga þeir ekki skilið að fá að fara í MR, Kvennó, MH eða Versló? Hvernig eiga skólarnir annars að velja inn nemendur? Og ég sé alveg áhyggjuhrukkur menntafólksins, skynja jafnvel hvernig maginn herpist saman. Hvernig tryggi ég þá mínu barni forskot á óupplýstan almúgann? Heyrist mér þeir hugsa. Því það er á þessu stigi (og hugsanlega í efstu bekkjum grunnskóla) sem geta foreldra til að styðja börnin sín fer að telja. Það er á þessum punkti sem börn menntaðra foreldra sigra og jafnrétti til náms reynist ekki þýða jöfn aðstaða til náms.

Minn draumur er um opnara skólakerfi, þar sem áhugi og eðlislæg forvitni og sköpunargleði fólks fær að njóta sín. Það þýðir að nemendur og kennarar væru ekki bundnir af atriðaupptalningum námskráa og samræmdum mælingum á því hvernig nemendum gengur að endurtaka þau atriði. Þar sem hver og einn fær að njóta sín á eigin forsendum en -> og þetta er mjög mikilvægt en, nemendur væru líka kynntir fyrir menningu og vísindum sem er ekki að finna í hversdagslegum fjölmiðlum og stækkar reynsluheim þeirra. Ég verð að minnast á þetta vegna þess að í okkar einstaklingshyggju erum við oft of fljót að gera ráð fyrir að áhugi sé einhvern veginn sjálfsprottið fyrirbæri, en ekki áunnið og litað af reynslu.

Ímyndum okkur að við höfum leyst vanda skólanna á þann hátt að allir fái jafn virta og viðurkennda prófgráðu. Eða ímyndum okkur að kennsluaðferðir verði svo góðar að allir fái alltaf 10. Okkar kapítalíska samfélag mun lenda í vandræðum (sem er gott). Því ef öllum gengi jafn vel í skólanum, svarið þá þessari spurningu: hver á að skúra? Hver á að afgreiða á kassanum? Með öðrum orðum: hver á að vinna tiltölulega einhæfa vinnu þar sem rými fyrir eigin ákvarðanir er ekkert, og það fyrir smánarlega lág laun? Og mitt svar er: við öll, við ættum að skipta þessu með okkur. Karl Marx setti fram þá skoðun um 1850 að verkamenn ættu að geta framfleytt sér á vinnu fram að hádegi, farið þá á veiðar og skemmt sér á kvöldin. Ég myndi kannski láta veiðarnar eiga sig, heldur gera eitthvað annað skemmtilegt, þannig væri þetta ennþá verðugt markmið, ef það gildir fyrir alla, sama hvaða prófskírteini þeir hafa.

Hvernig á að drepa stærðfræði?

Í bókinni STÆ-203 sem ég hef minnst á nýlega er fyrsti kaflinn um „mengjareikning“ en annar kaflinn er um „talnareikning“ en það þýðir m.a. (fyrsti undirkafli) að þátta náttúrlegar tölur í frumþætti. Það er engin tenging, þráður eða samhengi milli þessara kafla. Á þriðju blaðsíðu þessa kafla (bls. 23 í bókinni) er sett fram regla (án þess að á undan fari einhverjar pælingar eða spurningar um hana eða það sem hún fjallar um):

STÆ_203_R2.2_FrumtölurEf til vill er nauðsynlegt að ítreka að hér hefur ekkert farið á undan, til dæmis spurningar eins og:

  • Eru frumtölur endanlega margar?
  • Eru tölur á borð við 2 x 3 x 5 + 1 eða 2 x 3 x 5 x 7 + 1 (osfr) nauðsynlega frumtölur?
  • Ef 2 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 2 þá nauðsynlega upp í a eða b?
  • Ef 4 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 4 þá nauðsynlega upp í a eða b?

Það sem vísað er til í sönnuninni er regla 2.1 sem er svona sett fram (og allur kaflinn fram að því):

STÆ_203_R2.1_Grunnregla

Varla þarf að taka fram að regla 2.1 er sett fram án sönnunar. Það er hvorki tekið fram að það er hægt að sanna hana (en sönnunin er hins vegar ekki „viðeigandi“ fyrir lesendahópinn) né gefið til kynna að reglan sé ekki augljós.

Til samanburðar er hér brot úr bókinni Málsvörn stærðfræðings (í þýðingu Reynis Axelssonar):

Málsvörn_Frumtölur_1

Málsvörn_Frumtölur_2Nú kann sumum að finnast upphafning Hardy óviðeigandi í kennslubók (af hverju samt?) En þetta efni, þessi regla (eða setning, eins og við segjum í stærðfræðinni) hefur engan annan tilgang en þann að dást að henni. Hún hefur enga praktíska þýðingu fyrir nemendur, hjálpar þeim ekki að leysa nein hversdagsleg eða fræðileg viðfangsefni, ekki einu sinni í stærðfræði. Nema þeir fari út í talnafræði í framhaldsnámi á háskólastigi. Og það er reyndar merkileg staðreynd að þessi setning hefur hagnýtan tilgang, sem tengist (m.a.) dulritun gagna. En það er ekki efni sem nemendur á þessu stigi tengja við eða gera nokkuð með, þó að það sé fínt að segja þeim frá því (það er ekki minnst á þetta í bókinni).

Eini hagnýti tilgangurinn er fagurfræðilegur og hugsanlegur stærðfræðilegur þroski – en hann fæst ekki nema að nemendur pæli dálítið í þessu og fái tækifæri til þess að spyrja spurninga sem svarað er með reglunni.

Og svona í lokin: ég segi nemendum alltaf frá tvíburafrumtölum (twin primes) í þessu samhengi. Eru til óendanlega mörg pör af frumtölum sem eru þannig að mismunur talnanna er 2? (Dæmi: 5 og 7, 41 og 43). Þessu er enn ósvarað – hvað heldur þú? (Síðastliðið vor vakti athygli þegar áður óþekktur stærðfræðingur, Yitang Zhang, sannaði að til er tala N sem er í mesta lagi 70.000.000 sem er þannig að til eru óendanlega mörg pör af frumtölum þannig að munurinn á þeim er minni en N.)

Reiknivélar

Ég er á móti reiknivélum í skólum. Vegna þess að reiknivélar eru álíka úreltar og reiknistokkar (fyrirbæri sem fáir muna eftir, ekki það sama og tommustokkur). Allt sem reiknivél gerir, gerir spjaldtölva eða snjallsími miklu betur. Hægt er að velja úr forritum sem gera það sama eða miklu meira. Eitt af þeim fallegri og betri sem ég hef séð er Desmos. Desmos gerir allt sem venjuleg reiknivél gerir en bætir um betur. Hún leysir jöfnur, teiknar föll, sýnir punkta á ferlum, skyggir svæði samkvæmt ójöfnum og margt fleira. Hún er afar einföld í notkun og býr til mjög skýrar og fallegar myndir. Og virkar í öllum nútíma vöfrum, hvort sem notandinn er að nota Apple, Windows eða Android.

Screen Shot 2013-09-01 at 23.17.22 PM

Ég hef gaman af því að kvelja teiknivélar með fallinu sin (1/x)

Ég legg til að við hendum reiknivélunum í ruslið. Ég meina, setjum þær í endurvinnslu. Og uppfærum námsefnið og námsmatið til samræmis. Það er ekki boðlegt að halda í úrelt námsefni til þess eins að geta haldið próf af tiltekinni gerð.

Táknmál mengjafræðinnar

Stundum les ég eða heyri fólk segja að kennarar eigi að „gera efnið áhugavert“. Gott ef þetta var ekki útvarpinu í gær, og þá var talað um dönskukennslu. Ég held að þetta sé ekki góð nálgun. Samt er ég að hugsa um það hvernig hægt sé að finna áhugaverðan flöt á námsefni um einfalda mengjafræði, þó að „fræði“ sé reyndar full mikið heiti á einhverju sem er eiginlega eingöngu um nafna- og ritháttarvenjur. Gullna reglan um stærðfræðikennslu er að spyrja þeirra spurninga sem gera sköpun þeirrar þekkingar sem að er stefnt óumflýjanlega í stað þess að kynna þekkinguna á undan spurningunum (eða það sem algengara og verra er: án þess að spurningarnar komi nokkuð við sögu). Ef þetta er of klúðurslega eða knappt orðað má fara hægar gegnum þetta:

„Hefðbundin stærðfræðikennsla“ felst í því að fyrst eru kynnt hugtök og aðferðir og svo æfa nemendur sig í að nota hugtökin og aðferðirnar með því að leysa til þess gerð verkefni. Verkefnin eru miserfið og djúp en þau eru í flestum tilfellum án snertiflatar við hinn ytri heim eða þau vandamál sem hugtökin og aðferðirnar voru þróuð til að leysa. Oft eru verkefnin eingöngu æfing í að umbreyta einni runu af táknum í aðra runu af táknum innan sama táknkerfis, samkvæmt einhverjum reglum (aðferðum). Nemendur geta sumir náð góðum tökum á þessu án þess að hafa nokkra hugmynd um það til hvers hugtökin eða aðferðirnar eru, hvaða öðrum hugtökum og aðferðum þau tengjast, eða til hvers þær eru. Reyndar eru þessi tök oft fljót að gleymast, eins og eðlilegt er um „þekkingu“ sem hefur enga merkingu (það er, engin tengsl við aðra þekkingu eða reynslu).

Yfirleitt er hægt að byrja á spurningu (eða spurningum) sem eru eðlilegar og áhugaverðar í sjálfu sér og eru ekki spurningar um þau stærðfræðihugtök eða aðferðir sem nemendur eiga að læra heldur eitthvað annað. Ég er samt ekki að meina endilega hversdagslega hluti eða mjög hagnýta hluti – þær geta meira að segja verið um stærðfræði, en þá um stærðfræði sem er nemendum mjög vel kunn.

Nú er ég að kenna stærðfræði í framhaldsskóla og áfangalýsingin og áætlunin gerir ráð fyrir að ég kenni fyrsta árs nemendum um táknmál mengjafræðinnar. Mitt kalda sérfræðimat á því er að það sé fáránlegt. Þetta táknmál er fullkomlega óþarft á þessu stigi og er ekki svar við neinum spurningum sem nemendur hafa eða hægt er að vekja með þeim. Ef einhver þekkir slíka spurningu má viðkomandi láta mig vita. (Tek fram að það er ekkert mál að spyrja áhugaverðra spurninga um mengi, til dæmis um fjölda í óendanlegum mengjum af ýmsu tagi, eða heimspekilegra spurninga eins og um mengi allra mengja, þversögn Russels og svo framvegis, en það er ekki efnið.)

Nú ætla ég að opna mig meira um eigin kennslu en mér finnst þægilegt og gagnrýna námsefnið, sem er að finna í bókinni STÆ 203 eftir Jón Hafsteinn Jónsson, Níels Karlsson, Stefán G. Jónsson. Í fyrsta „verkefnakafla“ er fyrsta verkefnið eftirfarandi:

verkefni1_mengi

„Merkið 1 við réttar staðhæfingar og 0 við rangar.“ Really?

Rödd stærðfræðingsins í mér segir: „já fínt, þetta er bara um það að læra nákvæmni í meðferð einfaldra tákna. Ef maður skilur táknin er þetta ekkert mál, reglurnar um meðhöndlun þeirra eru ótvíræðar“. Rödd stærðfræðimenntunarfræðingsins (í tilfinningalegu uppnámi) segir: „það er ekki ein einasta vitglóra í því að láta 16 ára nemendur fást við að læra táknmál sem hefur engan tilgang fyrir þá og tekur tíma frá því að kljást við bitastætt stærðfræðilegt innihald, að greina, skapa, rökstyðja (sanna), að tengja stærðfræði við aðra hluti, að nota stærðfræði til að svara áhugaverðum spurningum. Það er deginum ljósara að margir nemendur eiga erfitt með þetta vegna þess að þetta er ekki um neitt og hjálpar þeim ekki að skilja neitt. Og þó að margir geti „náð þessu“ þá geta þeir ekki náð því til hvers þetta er, vegna þess að svarið við því er: ekki til neins.“ Í alvöru talað, að æfa formlegan rithátt í stað þess að glíma við innihald: fyrstu kynni nemenda í framhaldsskóla af stærðfræði! Ég gæti grátið.

Í stað þess að gráta hef ég hins vegar búið til verkefni sem fær nemendur til þess að tala saman og byggir á hönnun eftir Malcolm Swan. Það gengur út á að læra að túlka og umbreyta af einu framsetningarformi (e. mode of representation) yfir á annað (og tilbaka) – sem er lykilatriði í stærðfræðinámi til skilnings. Það er mun mikilvægara fyrir skilning en umbreyting innan sama framsetningarforms (sem hefur eins og áður sagði miklu meira vægi í hefðbundinni stærðfræðikennslu.)

Nemendur fá blöð með tvenns konar framsetningum á mengja-aðgerðum. Önnur framsetningin er teikning af hringjum, sem er eins konar „íkonísk“ framsetning, þ.e. teikningin „samsvarar“ aðstæðunum sem hún sýnir. Hitt er mengjatáknmál, sem er táknræn framsetning, þ.e. það er ekkert við táknin sjálf sem segir hvað þau merkja. Nemendur eru þrjú og þrjú saman og þau klippa út miða og para saman framsetningar og líma á plakat. Sums staðar á sama framsetning á einu formi við um tvö á öðru og sums staðar vantar framsetningu á einu forminu. Þá eiga nemendur að búa hana til sjálfir. Hér eru blöðin á myndaformi (nenni ekki að setja pdf hér og nú.)

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.41 PM

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.20 PM

 

Svona ef einhver kynni að vilja prófa þetta.