Föndurverkefni um föll

Í stað þess að eyða tímanum í að þjálfa nemendur í að herma eftir reiknitækjum (til að ná færni í því að umbreyta táknarunum innan sama framsetningarháttar) vil ég að nemendur búi til tengingar milli framsetningarkerfa, meðal annars milli framsetninga á aðstæðum á tiltölulega vernjulegu tungumáli og framsetninga á stærðfræðitáknmáli svo og framsetninga eins og línurita. Eitt verkefni sem nemendur (1. bekk á félagsvísindabraut) gerðu í vikunni, var að klippa út, flokka og para saman ólíkar framsetningar á föllum. Þeir fengu eftirfarandi blöð, og áttu að klippa út miðana:

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.15 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.06 PM

Athugið að það vantar nokkrar framsetningar og að það getur verið að tvær framsetningar innan sama háttar séu jafngildar.

Nemendur á þessu stigi þurfa dálítinn stuðning og samræðu við kennara til að ráða fram úr þessu, en með því að tala saman náðu þeir að gera þetta mjög vel. Þeir notuðu líka reikni- og teiknivélina Desmos (á tölvum og/eða símum) til að aðstoða sig. Ég birti hérna eina lausn (við skiptum þessu á tvö plaköt, svo hér eru bara tveir framsetningarhættir tengdir saman.)

Lausn_klippa_lima_foll

Krotað er yfir nöfn nemenda…

(Fyrir þá smámunarsömu: Það mætti gagnrýna örfá línurit fyrir að sýna gildi sem hafa ekki merkingu í samhengi við textann (t.d. neikvæðar hliðarlengdir.))

Nú þarf ég að setja meiri fókus á það hvernig nemendur geta unnið saman þannig að þeir læri sem mest og allir fái að vera með, þau æfi sig í að hlusta og ræða um hugmyndir hvers annars.

Hvað er fall?

Þegar ég var í 9. bekk (lokaár grunnskóla á þeim tíma…) komu einhverju sinni kennaranemar í heimsókn og lögðu fyrir okkur könnun. Könnunin gekk út á að svara því hvað „fall“ væri. Ég man ekki hvernig var spurt, en ég man þetta sem gerst hafi í gær vegna þess að ég hafði bara ekki eina einustu hugmynd. Þetta orð var aldrei notað í námsefninu.

Í fræðigreininni stærðfræði er gengið út frá skilgreiningu sem er bæði skýr og tæmandi, og er fáguð afurð langrar þróunar. En hún er abstrakt og í vissum skilningi segir hún ekki neitt, það er að segja hún virkar fullkomlega til að svara spurningunni „er þessi hlutur fall?“ en hún sýnir manni ekki hvernig föll „verða til“ eða hvernig maður ætti að finna dæmi um þau. Að vísu eru til útvíkkanir á hugtakinu og aðrar enn nútímalegri skilgreiningar, en eftirfarandi er „standard“ nútímaútgáfa (stundum nefnd skilgreining Dirichlet/Bourbaki) og hún komst á þetta form á 19. öld:

Fall f frá A til B er hlutmengi faldmengisins A × B þannig að fyrir sérhvert stak a úr A er nákvæmlega eitt stak b úr B þannig að (a, b) er stak í f. Í stað þess að skrifa „(ab) er stak í f“ skrifum við f(a) = b.

(Til þess að skilja þessa skilgreiningu þarf maður að geta notað hugtök eins og hlutmengi, faldmengi og stak og nokkur tákn. Þetta eru mjög einföld hugtök og þess má geta að faldmengið A × B er bara mengi af tvenndum (a,b) þar sem a er í menginu A og b er í menginu B.)

Þrjár framsetningar á frekar abstrakt óspennandi falli

Þessi skilgreining er nógu skýr til að hægt sé að nota hana til að sanna fullyrðingar um föll auk þess sem þeir hlutir sem „ættu að vera“ föll, eru föll. Með því á ég við að föll voru notuð löngu áður en þessi skilgreining var búin til. Sum fyrirbæri sem þá gátu flokkast sem föll, eru það reyndar ekki í dag en hins vegar eru til fjölmörg föll í dag sem gömlu spekingunum hefði aldrei dottið í hug að kalla föll.

Uppruni fallahugtaksins er rakinn til rannsókna Galileo Galilei (1564-1642) á hreyfingum hluta og næstu árhundruð þróaðist hugtakið einkum í glímu vísindamanna og stærðfræðinga við að lýsa hreyfingum og hraða (himintungla, strengja, og fleiri hluta) og svo síðar fyrirbærum eins og hitaleiðni hluta.

Þau föll sem vísindamenn notuðu framan af voru yfirleitt samfelld og diffranleg (nema ef til vill í endanlega mörgum punktum) og hægt að rita „sem formúlu“ (eins og f(x)=2x+5) og þau höfðu ferla sem hægt var að teikna. Hugmyndin var að ein stærð væri háð annarri, og menn skoðuðu hvernig breyting á óháðri stærð olli breytingu á háðri stærð.

Samkvæmt nútíma skilgreiningu er þetta ekki rétt. Föll þurfa alls ekki að hafa formúlu, þau geta verið ósamfelld og ódiffranleg og óteiknanleg og algerlega brjálæðisleg, svona miðað við klassísku hugmyndina. Þetta veldur nemendum oft töluverðum ruglingi, svona þegar ofar dregur í skólakerfinu – aðallega vegna þess að þeir telja sig geta rökstutt fullyrðingar um föll út frá hugmyndum sínum („í anda gömlu meistaranna“) í stað þess að nota skilgreininguna. Því það er hún sem ræður. (Kannski ætti hún ekki að ráða – fyrr en nemandi er kominn eitthvað lengra (við erum þá að tala um amk. annað ár í háskóla)).

Hér hefur aðeins verið fjallað um fall sem hluta af fræðigreininni stærðfræði, en merking hugtaksins er samt ekki eign hennar, því það er notað í mörgum fræðum og hefur merkingarmöguleika utan hennar sem mikilvægt er að nemendur í skólum kynnist. [Líklega má segja að þeir möguleikar falli alltaf undir fræðilega hugtakið – það er svo abstrakt að það inniheldur þetta allt sem möguleika, og fleira til.]

Stefni að því að skrifa um merkingarlandslag fallahugtaksins næst.