Margliðudeiling: til hvers?

Í síðustu viku var ég að „kenna margliðudeilingu“. Ég set gæsalappir utan um vegna þess að mér finnst óþægilegt að tala um „að kenna“ eitthvert hugtak eða aðferð þegar ég á við að ég hafi sýnt nemendum hugtak eða aðferð og svo fengið þá til þess að æfa sig í notkun á því með því að reikna kennslubókardæmi. Ég hallast að þeirri skoðun, eins og flestir fræðimenn í stærðfræðimenntun, að yfirleitt sé skynsamlegra að láta aðferðirnar verða til (í samræðu, glímu við verkefni, vísbendingum) við það að nemendur kljást við einhverja spurningu (eða spurningar) sem eru áhugaverðar í sjálfu sér og raunverulegar fyrir nemendum. Auðvitað er misjafnt hvað vekur áhuga og það er líka misjafnt hvað er raunverulegt fyrir manneskju. Tölur og aðrir stærðfræðilegir hlutir geta til dæmis verið raunverulegir ef þeir eru hluti af persónulegum merkingarvef manneskju. En það er mjög sjaldgæft að fólki finnist áhugavert að læra að nota hugtak/aðferð ef það tengist engu öðru í þeirra reynsluheimi. Ef hinsvegar hugtakið/aðferðin er kynnt eða leidd fram sem rökrétt leið til þess að leysa einhverja raunverulega spurningu, þá fyrst svarar námið einhverrri (vitsmunalegri) þörf hjá nemandanum.

Af þessum ástæðum finnst mér ekki skynsamlegt að „kenna margliðudeilingu“ ef slík vitneskja svarar engri vitsmunalegri þörf hjá nemendum. (Hið sama á við um öll stærðfræðihugtök.) En „til hvers er margliðudeiling“? Eins og um flest stærðfræðihugtök er dálítið erfitt að svara því – við erum að tala um einn þráð í risastórum vef eða eina steinvölu í stórri byggingu. Fyrir „almenning“ eru ekki beinlínis mikil not af því að kunna að framkvæma margliðudeilingu – helst að það nýtist til að finna stofnföll vissra falla (heildun). Það má svo spyrja hvort ástæða sé til þess að læra að finna umrædd stofnföll á pappír. Tölvur geta svo leyst öll þessi dæmi.

Mér datt reyndar í hug að tengja margliðudeilingu við sígilt verkefni:

Marglidud_kornHér er ekki um það að ræða að kynna margliðudeilingu sem leið til að leysa verkefnið – og það eru til aðrar mjög skemmtilegar og lærdómsríkar leiðir til að takast á við það – en ef kona er á annað borð að kynna sér margliðudeilingu þá er hægt að skoða það gegnum eftirfarandi dæmi:

deilingarOg alhæfa út frá þessum dæmum, skoða almennu niðurstöðuna. Í ljós kemur hin magnaða jafna

deiling_utkoma

Með því að velja viðeigandi gildi fyrir n og x má finna svarið við þrautinni.

Alltaf, stundum eða aldrei satt?

Er eftirfarandi jafna alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn? Við hugsum okkur hér að bókstafirnir a og b séu tölur.

\frac{a}{b}=\frac{b}{a}

Ef hún er alltaf eða aldrei sönn, útskýrðu hvers vegna. Ef hún er stundum sönn, gefðu dæmi um það, og gerðu tæmandi grein fyrir öllum slíkum dæmum ef þú getur.

Með því að setja fram fullyrðingar, eins og til dæmis jöfnur, með þessum hætti, í stað þess að leggja fyrir verkefni eins og „leystu jöfnuna …“ gerist eitthvað sem er dálítið merkilegt. Sérstaklega ef nemendur eiga að svara spurningunum í litlum hópum. Í stað þess að annaðhvort byrja að „reikna“ samkvæmt einhverjum (oft hálfgleymdum eða óljósum) reglum, eða gefast upp vegna þess að þeir „vita ekki hvernig þeir eiga að leysa þetta“, þá skapast samræður og pælingar. Nemendur fara jafnvel að prófa einhverjar tölur.

Þetta form á spurningu er eitt af því sem ég kynntist hjá breskum fræðimönnum í stærðfræðimenntun, man ekki hvort ég sá þetta fyrst hjá John Mason eða Malcolm Swan.

Ég lagði verkefni fyrir tvo fyrstu bekki á náttúrufræðibraut í síðustu viku, sem var ekkert annað en listi af fullyrðingum sem þau áttu að meta á þennan hátt. Að vísu má segja að ég sé að teygja aðeins á rökfræðinni í „ef … þá“ fullyrðingum. Því hvað þýðir að slík fullyrðing sé stundum sönn? Hugmyndin er að ef maður gefur sér einhverjar fleiri forsendur geti annars röng fullyrðing orðið sönn (smellið á mynd til að stækka).

Screen Shot 2013-09-15 at 15.14.37 PM

Ég gæti kennt allan áfangann sem lista af svona fullyrðingum. (Sé reyndar að síðasta verkefnið er ekki svona fullyrðing!)

ps. Um upphaflegu jöfnuna: reynslan sýnir að ein leið til að gera jöfnuna sanna kemur mörgum ekki í hug, möguleikinn a=b er ekki sá eini.