Category Archives: Uncategorized

Leiðir beint og á ská

Þegar ég fer frá Hringbraut niður á Lækjartorg þá fer ég oftast inn Ásvallagötu af Hofsvallagötu, að kirkjugarðinum, niður á Suðurgötu og þangað að Aðalstræti/Kirkjustræti og yfir Austurvöll. Þegar ég fer í hina áttina fer ég frekar upp alla Túngötuna og svo niður Hofsvallagötu að Hringbraut. Ég velti því stundum fyrir mér á þessum gönguferðum af hverju ég fer ekki sömu leið, og þetta á við um fleiri svona ferðalög: ekki sama leið frá A til B og frá B til A. Er ég ómeðvitað að reyna að „stytta“ leiðina?

En hér er stærðfræðileg spurning sem hægt er að brjóta heilann um:

Lengd leiðarinnar milli A og B er 2 í fyrsta dæminu (lengst til vinstri). Hve langt er á milli eftir hinum leiðunum? Og: ef við vinnum meira með miðjumyndina, fjölgum „tröppunum“, hvernig breytist vegalengdin? [Og ef hún breytist ekki, væri ekki hægt að fá mynd sem er næstum alveg eins og síðasta myndin, svo nálægt að upplausnin í tölvuskjánum gæti ekki sýnt muninn?]

Netafræði: hve margir vegir?

Netafræði er ein grein stærðfræðinnar. Hún kemur líka fyrir í verkfræði og í félagsvísindum. Stærðfræðingar rekja upphaf greinarinnar til svissneska stærðfræðingsins Euler, sem skrifaði fyrstu ritgerðina sem hægt er að segja að falli undir netafræði, árið 1735. Í greininni leysti hann litla þraut sem íbúar borgarinnar Königsberg (sem nú heitir Kaliningrad og tilheyrir Rússlandi) höfðu gaman af því að velta fyrir sér. Hún var um það hvort hægt væri að fara í gönguferð um borgina þannig að farið væri yfir allar sjö brýrnar yfir fljótið Pregel sem rann gegnum borgina, og bara einu sinni yfir hverja brú. Á síðari tímum hefur stærðfræðingum (og mér) þótt skemmtilegt að reyna að vekja áhuga nemenda á netafræði með því að kynna þessa þraut.

Ekki fyrir svo ýkja löngu kynntist ég þó annarri hugmynd: að kynna netafræði gegnum viðfangsefni um félagsleg tengslanet. Greining slíkra neta hefur orðið stærra og stærra umfjöllunarefni, bæði vegna þróunar í félagsvísindum og ekki síður vegna þess að nú í dag tilheyrir fólk stórum félagslegum tengslanetum á internetinu eins og til dæmis á Facebook, og að auki er nú hægt að geyma upplýsingar um stór tengslanet í tölvum og reikna út hluti sem áður hefði tekið gríðalegan tíma.

Svo spurningin er hvort er áhugaverðara fyrir nemendur: hreinar stærðfræðiþrautir, eins og um brýrnar í Königsberg, eða framsetningar á félagslegum strúktúrum, eins og um tengslanet og hvernig hlutir (eins og skilaboð, orðrómar, sjúkdómar, og svo framvegis) flæða um þau?

Í þessu hefti er núna reynt að byrja á tengslanetum:

Rúmfræðibók Descartesar frá 1637

Hér má sjá aðra blaðsíðu í viðauka við bókina Orðræða um aðferð (Discours de la méthode) eftir René Descartes. Viðaukinn heitir Rúmfræðin (La Geometrie) og er talin marka upphaf hnitarúmfræði.

Descartes bls 2

Hönnun síðunar er falleg og athyglisvert að notaðar eru hliðarmálsgreinar („hliðarnótur“) til að gera uppbygginguna skýra.

Þó er innihaldið ennþá áhugaverðara. Efri myndin sýnir hvernig hægt er að margfalda saman tvær tölur með rúmfræðilegri teikningu, ef einingarlengd er gefin. Á myndinni ákveðum við að einingin sé strikið AB (sem telst þá hafa lengdina 1). Tölurnar sem margfalda á saman samsvara strikunum BC og BD. Þau strik má teikna hvernig sem er, svo lengi sem lengdirnar samsvari tölunum sem á að margfalda saman. Þá er teiknað strikið AC og svo er teiknuð lína gegnum D þannig að það sé samsíða AC og fundinn skurðpunktur þeirrar línu og línunnar BC. Sá skurðpunktur er nefndur E. Núna er lengd striksins BE jöfn margfeldi lengda strikanna BC og BD. Ef við leyfum okkur að slá saman strikum og lengdum þeirra, þá er semsagt BC x BD = BE.

Á neðri myndinni er sýnt hvernig hægt er að „reikna“ ferningsrót með teikningu, það er að segja, að teikna strik þannig að lengd þess sé ferningsrót gefinnar lengdar. Hér er ætlunin að finna ferningsrót GH, og einingin er FG. Við finnum miðju FH og nefnum þann punkt K. Teiknum hring með miðju í K (og geisla KH) og teiknum hornrétta línu frá G og finnum skurðpunkt þeirrar línu og hringsins, sem við nefnum I. Þá er strikið GI ferningsrótin sem við vildum finna.

Því sem haldið er fram hér að ofan hefur ekkert verið rökstutt, en það er eftirlátið lesendum að sannfærast um réttmæti þess. Það er hægt að nota sér einslögun þríhyrninga (og þá staðreynd að lengd AB er 1) til að sjá að margföldunin virkar, en fyrir rótardráttinn gæti þurft að þekkja setningu Þalesar og beita einslögun á þríhyrningana FIH og FGI. Þau sem kunna eitthvað í hnitarúmfræði ættu líka að geta tjáð myndirnar á því tungumáli og séð að þetta passar.

Eins og fram kom í upphafi færslunnar er þetta blaðsíða 2 í texta sem talinn er upphaf hnitarúmfræði og venjulega hnitakerfið sem öll læra í skólanum heitir þess vegna líka „kartesíska hnitakerfið“ (Cartesian coordinates) höfundinum til heiðurs. Það sem hann gerði í Rúmfræði var að tengja saman reikning og rúmfræði, þannig að nota mætti rúmfræði til að leysa vandamál í reikningi og algebru, og öfugt. Á síðunni sem sýnd er túlkar hann margföldun, deilingu og ferningsrótardrátt sem aðgerðir á línustrikum, sem var nýjung! Skoðið síðuna aftur og látið gæsahúðina hríslast eftir hryggsúlunni.

Verk í vinnslu 1

Ég hef í mörg ár haft ákafan áhuga á því hvernig fólk myndar sér og viðheldur skoðunum sínum og heimsmynd, svo ekki sé talað um allar óorðuðu ómeðvituðu forsendurnar sem krauma undir eins og ormar undir steini. Hægt er að tengja þetta við heimspeki, þekkingarfræði, og þrotaðar pælingar um það hvort hlutir geti verið bæði grænir og bláir á sama tíma og hve mörg viskískot þarf að drekka áður en verufræðilega sönnun Anselms á tilvist Guðs fer að meika sens. (Guð er fullkomnasta vera sem hægt er að ímynda sér. Vera sem er til er fullkomnari en vera sem er ekki til. Þar af leiðandi er Guð til.)

En ég hef meiri áhuga á þessu í praxís og hvernig fólk ályktar í raun og veru. Þrátt fyrir fögur orð um sjálfstæði og gagnrýna hugsun myndum við okkur yfirleitt skoðanir og „þekkingu“ fyrst og leitum að, eða finnum upp, rök og ástæður seinna.

Mig minnir að ég hafi lesið um þetta fyrst (þannig að það hafi vakið nóga athygli mína) hjá Páli Skúlasyni. Ég held að greinin heiti „Er hægt að kenna gagnrýna hugsun?“ og hefur verið vinsælt lesefni í allskonar kúrsum, allavega vinsælt meðal kennara þessara námskeiða. Í þessari grein er meðal annars bent á að maður hefur tilhneigingu til að sækjast í staðfestingar skoðanna sinna, fremur en að reyna að fella þær út gildi. Í gamla daga var þetta útskýrt með því að við læsum Moggann eða Þjóðviljann eftir því hvort við tryðum á kapítalíska heterópatríarkíið eða kommúníska heterópatríarkíið en núna kennum við reikniritum Facebook um. Þetta á að minnsta kosti að vera andstætt því sem stundum er sagt vera vísindaleg aðferð, en lífið er ekki vísindi og vísindi eru það oft ekki heldur. Stundum er því haldið fram að vísindaleg aðferð gangi út á að setja fram tilgátur, byggðar á kenningum, og láta svo reyna á þær til hins ítrasta, reyna bókstaflega í alvöru að afsanna þær. Þetta er auðvitað ekki endilega það sem er gert, því þá væri erfiðara að fá styrki úr samkeppnissjóðum og birtingar í fræðilegum tímaritum.

Vísindaleg aðferð:

  1. Þú skalt ekki ljúga mikið.
  2. Ef mældur raunveruleiki getur ekki með nokkru móti komið heim og saman við kenninguna verðurðu að breyta kenningunni eitthvað örlítið eða viðurkenna að það eigi enn eftir að lagfæra nokkur smáatriði.
  3. Fyrri liðir eiga ekki við í styrkumsóknum.

Ég er að sjálfsögðu undantekning frá þessu vinnulagi.

Gagnrýnin hugsun felst samkvæmt Páli Skúlasyni í því „að fallast ekki á neina skoðun, hvaðan sem hún kemur, nema maður rannsaki hvað í henni fellst og geti fundið fullnægjandi rök fyrir henni.“ Þetta þýðir strax að það er vonlaust að ástunda gagnrýna hugsun, meðal annars vegna þess að

  1. Heilinn myndar sér strax skoðun án meðvitaðrar hugsunar og finnur svo fullnægjandi rök eftirá, sama hver skoðunin er.
  2. Maður hefur nauðsynlega allt of margar skoðanir til að nokkur einasti möguleiki sé til að rannsaka þær allar af nokkru viti.

Ég hugsa um þetta úr tveimur áttum.

Í fyrsta lagi er til yndislegur litteratúr í sálfræði um það að heilinn noti tvö kerfi. Eitt sem virkar hratt, nánast ómeðvitað, lýsum því með heitum eins og „innsæi“ og „tilfinningum“. Það hefur í þessum fræðum hlotið hið skáldlega nafn „system 1“. Hitt kerfið virkar miklu hægar og er meðvituð, það sem kalla mætti rökhugsun – sem krefst áreynslu og veldur sársauka í heilanum. Flestir forðast þetta kerfi í lengstu lög. Þetta kerfi heitir hinu undursamlega nafni „system 2“. Þessum kerfum er lýst í bókinni „Thinking, Fast and Slow“ eftir Daniel Kahnemann, sem er sálfræðingur en hlaut Nóbelsverðlaun í hagfræði fyrir þessa pælingu. (Látum eiga sig að Nóbelsverðlaun í hagfræði eru ekki endilega góðs viti.) Annað efni úr sömu átt eru verk David Dunning og félaga. Kannski þekkja allir í dag hin rómuðu Dunning-Kruger áhrif: heimskt fólk er of heimskt til að fatta hvað það er heimskt. Ég myndi orða þetta kurteisar í viðurvist viðkvæmra sála (af hverju ekki „sálna“?) og er svosem víðtækara en akkúrat þetta. Til dæmis telja fjórar af hverjum fimm manneskjum sig vera betri bilstjóra en meðalbílstjóri og betra ljóðskáld en meðalljóðskáld, og betri í því að greina lygafréttir frá alvöru pródúksjón en venjulegur auli.

Það er þó ekki minna skemmtilegt að nálgast þetta út frá gagnrýnum fræðum og sálgreiningu. Þá er hver einstaklingur og hans heili ekki í brennidepli heldur við öll sem heild og allar þær leyndu langanir og forsendur sem eru undir og bakvið allt sem við gerum og segjum. Fólk verður oft mjög ringlað eða jafnvel reitt þegar þessir hlutir eru skoðaðir og ormar skríða úr holum steinsins í bláhvítu ljósi. Tvö stig ef þið þekkið þessa vísun.

Setning Kópernikusar

Í rússneskri bók frá 1978 segir í inngangi frá „setningu Kópernikusar“:

Screenshot 2016-08-15 12.17.23

Það er frekar erfitt að sjá þetta fyrir sér. Ég sá fyrir mér einhverjar krúsídúllur, litla hringi sem punkturinn myndi ferðast eftir. En það er ekki það sem gerist. Allir ættu að prófa að sjá þetta fyrir sér, og horfa svo ef til vill á þetta:

each dot moves in a straight line (x-post r/woahdude)

Reyndar er algert lykilatriði að minni hringurinn hafi nákvæmlega hálft þvermál (eða radíus) stóra hringsins. Ef það er ekki þannig gerast aðrir hlutir…

Einfaldar spurningar, óvænt svör

Þessa spurningu sá ég í grein eftir John Mason í dag:

Af 200 hlutum eru 98% af einni gerð. Hve marga slíka hluti þarf að fjarlægja til þess að 96% hlutanna verði af þeirri gerð?

Hverskonar svar dettur manni fyrst í hug? Segjum að við skjótum á eitthvað um-það-bil. Ég var mjög langt frá!

Stærðfræðikennsla gæti byggst meira eða minna á spurningum sem þessum, sem vekja undrun, og krefjast þess að við höfum raunverulega stærðfræði á valdi okkar, eða finnum hana út. (Hér er aðeins um basic bókstafareikning að ræða, nú eða einhverskonar háþróaða hlutfallahugsun.)

Andstæðan eru verkefni þar sem lausnin er augljós með eða án stærðfræði, eða vekur engan áhuga.