Nám í stærðfræði bætir ekki hæfni til að draga ályktanir af sögulegum heimildum

Í gær setti ég eftirfarandi færslu á facebook:

Meira en 100 ár síðan fyrst var sýnt að það að læra eitthvað (eins og latínu, rúmfræði, algebru) bætir ekki almenna rökhugsun, námgetu, minni, eða neina aðra andlega færni. Samt trúa margir á svona, til dæmis að stærðfræðinám bæti rökhugsun.

Í framhaldinu átti ég í samræðu við Ásu Lind Finnbogadóttur og svo bætti Anna Kristjánsdóttir við. Mín tilfinning er að merking færslunnar hafi verið óljós og lesendur eins og Ása og Anna hafi túlkað hana í áttir frá því sem ég ætlaði. En ég veit það reyndar ekki frekar en þær eða aðrir. Merking er í grundvallaratriðum óstöðug og síbreytileg, þó að okkur takist oft að ná nógu góðri sátt og samskilningi til þess að halda áfram, til að finnast við hafa náð að samræma skilninginn (nógu vel, tímabundið). Ég hef í nokkur ár verið heillaður af samræðuhyggju (mín „þýðing“ á dialogism) sem (samkvæmt mínum skilningi) gengur út á meðal annars þetta: merking orða og athafna er í sífelldri þróun í samræðu. Ég ræð ekki merkingunni í þessari stöðufærslu, viðtakendur leika þar jafn stórt hlutverk, og ekki síður hin áframhaldandi samræða. Ég held að samræðan í gær hafi að minnsta kosti gert eitthvert gagn, þó að enn kunni að vera ólíkur skilningur – það er einmitt ólíkur skilningur fólks sem færir okkur áfram, og eykur skilning allra.

Það er ekki hægt að segja allt. Einföld staðreynd, sjálfsögð sannindi, en einmitt það sem veldur oft ágreiningi. Til að skýra orð mín „til fullnustu“ (sem er ekki hægt, því orð hafa marga merkingarmöguleika og við notum okkur þá staðreynd meðvitað og ómeðvitað til þess að leyfa viðtakendum að túlka / velkjast í vafa það sem við meinum) þyrfti ég að segja frá allri minni heimssýn, skoðunum, skilningi á orðum og veruleika. Skilningur fólks á milli er mögulegur, hann gerist á hverjum degi, en hann er aldrei fullkominn. Ég veit hvað þú meinar en samt ekki alveg. Enda meinarðu ekki alveg eitthvað eitt og veist ekki endilega sjálf/ur alveg hvað þú meinar.

Öll þessi „vandræði“ við margræðni orða og athafna eru jafnframt einmitt það sem gerir okkur mögulegt að eiga samskipti um allt mögulegt, nýjar aðstæður, sköpun og svo framvegis. „Eitt orð, ein merking“ er eins langt frá eðli samskipta og hægt er að komast.

En aftur að efninu: það sem ég hafði í huga varð til við lestur á tveimur greinum. Fyrst Claxton, “Mathematics and the mind gym: how subject teaching develops a learning mentality”, í For the learning of mathematics, 24(2), 2004:

it is not clear that mathematics is the new Latin – in the sense of providing any kind of effective, generic ‘training of the mind’. Of course, Latin never was, despite the rear-guard rhetoric of its adherents, and there is no evidence that I am aware of that students of mathematics show any enhancement of their spontaneous, real-life powers of deduction, logical argument and so on.

En líka Smith, “Why is Pythagoras Following Me?”, í Phi Delta Kappan, Feb. 1989 sem vitnar í rannsókn Thorndike og Woodworth frá 1901 (þess vegna sagði ég „meira en 100 ár síðan“),The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions (I)

Improvement in any single mental function rarely brings about equal improvement in any other function, no matter how similar, for the working of every mental function group is indicated by the nature of the data in each particular case.

Svo að punkturinn er ekki sá að kennsla og/eða nám geti ekki haft áhrif á „greind“, hvað sem það er, segjum bara getu til að læra að gera hluti. Heldur að venjulegt nám í einhverju tilteknu, eins og algebru, rúmfræði, latínu, málfræði, skák (svo eitthvað sé nefnt af því sem stundum er talið „þjálfa heilann“) hefur aðallega áhrif á getu fólks til að fást við þau tilteknu eða mjög skyldu hluti sem námið miðaðist að. Ég er til dæmis alveg búinn að fá nóg af þeirri fullyrðingu að stærðfræðinám þjálfi rökhugsun. Ef stærðfræðinámið miðast að því að þróa rökhugsun nemenda (sem það ætti að gera en er ekki endilega venjan) þá getur það gert það, þó að það verði stærðfræðileg rökhugsun sem þá er þroskuð. Og sú tegund rökhugsunar er ekki endilega gagnleg fyrir ýmis önnur svið fræða eða tilverunnar almennt.

Það skortir ekkert á mýgrút dæma um það að fólk sem er mjög klárt í slíkri rökhugsun segir tóma vitleysu um aðra hluti, sem það hefur ekkert vit á.

Hvað er vitað um stærðfræðikennslu?

Hvernig er best að kenna stærðfræði?

Það er ekki hægt að svara þessari spurningu. Vegna þess að fyrst þarf þá að spyrja nokkurra annarra spurninga: hvað áttu við með stærðfræði? Hvers konar mælikvarða viltu nota til að greina hið betra frá hinu verra? Best fyrir hvern? Þetta eru alls ekki einfaldar spurningar eða hártoganir.

Þessi færsla sprettur af athugasemd sem ég las á netinu þar sem fullyrt var að tiltekin tegund af kennslu (byggð á atferlisstefnu) hefði sýnt sig að ná betri árangri en önnur (byggð á hugsmíðahyggju). Fyrst þarf auðvitað að taka fram að „kennsla byggð á“ einhverri tiltekinni almennri hugmynd um nám getur þýtt hvað sem er og við vitum ekkert um það hvað raunverulega er verið að gera í kennslustundum. Næst koma spurningar eins og ég nefndi í upphafi.

En mig langar að nefna eitt. Langt er síðan fræðimenn og áhugamenn um stærðfræðimenntun hófu að kvarta yfir því að stærðfræði sé kennd og lærð sem reiknitækni til að læra utanbókar, án merkingar. Skoðum nokkrar tilvitnanir í tímaröð, fyrst Augustus De Morgan (1865):

Mathematics is becoming too much of a machinery; and this is more especially the case with reference to the elementary students. They put the data of the problems into a mill and expect the result to come out ready ground at the other end. An operation which bears a close resem-blance to that of putting in hemp seed at one end of a machine and taking out ruffled shirts ready for use at the other end. This mode is undoubtedly exceedingly effective in producing results, but it is certainly not soaked in teaching the mind and in exercising thought.

Næst er það grein frá 1947, “The place of meaning in the teaching of arithmetic” eftir Brownell úr The Elementary School Journal, 47(5).

The chief reason for our vital interest in arithmetical meanings is to be found, I think, in the demonstrated failure of relatively meaningless programs. The latter programs have not produced the kind of arithmetical competence required for intelligent adjustment to our culture.

Svo er það ein frægasta grein stærðfræðimenntunar, frá 1973, “Benny’s Conception of Rules and Answers in IPI Mathematics” sem breytti fræðasviðinu til frambúðar. IPI (Individually Prescribed Instruction) var kerfi utan um einhvers konar „einstaklingmiðað“ nám (en á lítið skylt við hugtakið einstaklingsmiðað nám eins og það hugtak er skilgreint á Íslandi í dag), sem gekk út á að hver og einn nemandi vann sjálfstætt á sínum hraða gegnum námsefni, tók próf úr efninu og gat haldið áfram ef hann náði því nógu vel. Ég held að svona lagað sé líka kallað hlítarnám (mastery learning). Í stuttu máli leiddi rannsókn Erlwanger í ljós að nemendur gátu náð góðum „árangri“ í þessu kerfi án þess að skilja nokkurn skapaðan hlut og með alvarlegar ranghugmyndir um stærðfræði. Grípum niður í niðurstöðukaflann [ég þakka Mathed.net fyrir tilvitnunina]:

Benny’s misconceptions indicate that the weakness of IPI stems from its behaviorist approach to mathematics, its mode of instruction, and its concept of individualization. The insistence in IPI that the objectives in mathematics be defined in precise behavioral terms has produced a narrowly prescribed mathematics program that rewards correct answers only regardless of how they were obtained, thus allowing undesirable concepts to develop. (57)

Fram að þessu höfðu rannsóknir í stærðfræðimenntun einkum verið megindlegar: aðferðir tölfræðinnar voru notaðar til að lýsa og bera saman árangur tilraunahópa og samanburðarhópa. Erlwanger sýndi fram á að nauðsynlegt er að tala við og hlusta á nemendur og reyna að skilja hvernig þeir skilja stærðfræði, hver merking hennar er fyrir þeim. Í dag eru því eigindlegar aðferðir notaðar með megindlegum, og jafnvel mun frekar.

Ekki meira í bili nema þetta: Ég veit ekki til þess að neinn fræðimaður á sviði stærðfræðimenntunar mæli með aðferðum sem byggja á atferlisstefnu til að kenna stærðfræði. En þá er þess að geta að þá er ekki litið á stærðfræði sem safn af reikniaðferðum til að geyma í minninu heldur frekar eitthvað eins og lifandi merkingarvef (í allt of stuttri yfirborðslegri lýsingu!)