Nám í stærðfræði bætir ekki hæfni til að draga ályktanir af sögulegum heimildum

Í gær setti ég eftirfarandi færslu á facebook:

Meira en 100 ár síðan fyrst var sýnt að það að læra eitthvað (eins og latínu, rúmfræði, algebru) bætir ekki almenna rökhugsun, námgetu, minni, eða neina aðra andlega færni. Samt trúa margir á svona, til dæmis að stærðfræðinám bæti rökhugsun.

Í framhaldinu átti ég í samræðu við Ásu Lind Finnbogadóttur og svo bætti Anna Kristjánsdóttir við. Mín tilfinning er að merking færslunnar hafi verið óljós og lesendur eins og Ása og Anna hafi túlkað hana í áttir frá því sem ég ætlaði. En ég veit það reyndar ekki frekar en þær eða aðrir. Merking er í grundvallaratriðum óstöðug og síbreytileg, þó að okkur takist oft að ná nógu góðri sátt og samskilningi til þess að halda áfram, til að finnast við hafa náð að samræma skilninginn (nógu vel, tímabundið). Ég hef í nokkur ár verið heillaður af samræðuhyggju (mín „þýðing“ á dialogism) sem (samkvæmt mínum skilningi) gengur út á meðal annars þetta: merking orða og athafna er í sífelldri þróun í samræðu. Ég ræð ekki merkingunni í þessari stöðufærslu, viðtakendur leika þar jafn stórt hlutverk, og ekki síður hin áframhaldandi samræða. Ég held að samræðan í gær hafi að minnsta kosti gert eitthvert gagn, þó að enn kunni að vera ólíkur skilningur – það er einmitt ólíkur skilningur fólks sem færir okkur áfram, og eykur skilning allra.

Það er ekki hægt að segja allt. Einföld staðreynd, sjálfsögð sannindi, en einmitt það sem veldur oft ágreiningi. Til að skýra orð mín „til fullnustu“ (sem er ekki hægt, því orð hafa marga merkingarmöguleika og við notum okkur þá staðreynd meðvitað og ómeðvitað til þess að leyfa viðtakendum að túlka / velkjast í vafa það sem við meinum) þyrfti ég að segja frá allri minni heimssýn, skoðunum, skilningi á orðum og veruleika. Skilningur fólks á milli er mögulegur, hann gerist á hverjum degi, en hann er aldrei fullkominn. Ég veit hvað þú meinar en samt ekki alveg. Enda meinarðu ekki alveg eitthvað eitt og veist ekki endilega sjálf/ur alveg hvað þú meinar.

Öll þessi „vandræði“ við margræðni orða og athafna eru jafnframt einmitt það sem gerir okkur mögulegt að eiga samskipti um allt mögulegt, nýjar aðstæður, sköpun og svo framvegis. „Eitt orð, ein merking“ er eins langt frá eðli samskipta og hægt er að komast.

En aftur að efninu: það sem ég hafði í huga varð til við lestur á tveimur greinum. Fyrst Claxton, “Mathematics and the mind gym: how subject teaching develops a learning mentality”, í For the learning of mathematics, 24(2), 2004:

it is not clear that mathematics is the new Latin – in the sense of providing any kind of effective, generic ‘training of the mind’. Of course, Latin never was, despite the rear-guard rhetoric of its adherents, and there is no evidence that I am aware of that students of mathematics show any enhancement of their spontaneous, real-life powers of deduction, logical argument and so on.

En líka Smith, “Why is Pythagoras Following Me?”, í Phi Delta Kappan, Feb. 1989 sem vitnar í rannsókn Thorndike og Woodworth frá 1901 (þess vegna sagði ég „meira en 100 ár síðan“),The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions (I)

Improvement in any single mental function rarely brings about equal improvement in any other function, no matter how similar, for the working of every mental function group is indicated by the nature of the data in each particular case.

Svo að punkturinn er ekki sá að kennsla og/eða nám geti ekki haft áhrif á „greind“, hvað sem það er, segjum bara getu til að læra að gera hluti. Heldur að venjulegt nám í einhverju tilteknu, eins og algebru, rúmfræði, latínu, málfræði, skák (svo eitthvað sé nefnt af því sem stundum er talið „þjálfa heilann“) hefur aðallega áhrif á getu fólks til að fást við þau tilteknu eða mjög skyldu hluti sem námið miðaðist að. Ég er til dæmis alveg búinn að fá nóg af þeirri fullyrðingu að stærðfræðinám þjálfi rökhugsun. Ef stærðfræðinámið miðast að því að þróa rökhugsun nemenda (sem það ætti að gera en er ekki endilega venjan) þá getur það gert það, þó að það verði stærðfræðileg rökhugsun sem þá er þroskuð. Og sú tegund rökhugsunar er ekki endilega gagnleg fyrir ýmis önnur svið fræða eða tilverunnar almennt.

Það skortir ekkert á mýgrút dæma um það að fólk sem er mjög klárt í slíkri rökhugsun segir tóma vitleysu um aðra hluti, sem það hefur ekkert vit á.

Táknmál mengjafræðinnar

Stundum les ég eða heyri fólk segja að kennarar eigi að „gera efnið áhugavert“. Gott ef þetta var ekki útvarpinu í gær, og þá var talað um dönskukennslu. Ég held að þetta sé ekki góð nálgun. Samt er ég að hugsa um það hvernig hægt sé að finna áhugaverðan flöt á námsefni um einfalda mengjafræði, þó að „fræði“ sé reyndar full mikið heiti á einhverju sem er eiginlega eingöngu um nafna- og ritháttarvenjur. Gullna reglan um stærðfræðikennslu er að spyrja þeirra spurninga sem gera sköpun þeirrar þekkingar sem að er stefnt óumflýjanlega í stað þess að kynna þekkinguna á undan spurningunum (eða það sem algengara og verra er: án þess að spurningarnar komi nokkuð við sögu). Ef þetta er of klúðurslega eða knappt orðað má fara hægar gegnum þetta:

„Hefðbundin stærðfræðikennsla“ felst í því að fyrst eru kynnt hugtök og aðferðir og svo æfa nemendur sig í að nota hugtökin og aðferðirnar með því að leysa til þess gerð verkefni. Verkefnin eru miserfið og djúp en þau eru í flestum tilfellum án snertiflatar við hinn ytri heim eða þau vandamál sem hugtökin og aðferðirnar voru þróuð til að leysa. Oft eru verkefnin eingöngu æfing í að umbreyta einni runu af táknum í aðra runu af táknum innan sama táknkerfis, samkvæmt einhverjum reglum (aðferðum). Nemendur geta sumir náð góðum tökum á þessu án þess að hafa nokkra hugmynd um það til hvers hugtökin eða aðferðirnar eru, hvaða öðrum hugtökum og aðferðum þau tengjast, eða til hvers þær eru. Reyndar eru þessi tök oft fljót að gleymast, eins og eðlilegt er um „þekkingu“ sem hefur enga merkingu (það er, engin tengsl við aðra þekkingu eða reynslu).

Yfirleitt er hægt að byrja á spurningu (eða spurningum) sem eru eðlilegar og áhugaverðar í sjálfu sér og eru ekki spurningar um þau stærðfræðihugtök eða aðferðir sem nemendur eiga að læra heldur eitthvað annað. Ég er samt ekki að meina endilega hversdagslega hluti eða mjög hagnýta hluti – þær geta meira að segja verið um stærðfræði, en þá um stærðfræði sem er nemendum mjög vel kunn.

Nú er ég að kenna stærðfræði í framhaldsskóla og áfangalýsingin og áætlunin gerir ráð fyrir að ég kenni fyrsta árs nemendum um táknmál mengjafræðinnar. Mitt kalda sérfræðimat á því er að það sé fáránlegt. Þetta táknmál er fullkomlega óþarft á þessu stigi og er ekki svar við neinum spurningum sem nemendur hafa eða hægt er að vekja með þeim. Ef einhver þekkir slíka spurningu má viðkomandi láta mig vita. (Tek fram að það er ekkert mál að spyrja áhugaverðra spurninga um mengi, til dæmis um fjölda í óendanlegum mengjum af ýmsu tagi, eða heimspekilegra spurninga eins og um mengi allra mengja, þversögn Russels og svo framvegis, en það er ekki efnið.)

Nú ætla ég að opna mig meira um eigin kennslu en mér finnst þægilegt og gagnrýna námsefnið, sem er að finna í bókinni STÆ 203 eftir Jón Hafsteinn Jónsson, Níels Karlsson, Stefán G. Jónsson. Í fyrsta „verkefnakafla“ er fyrsta verkefnið eftirfarandi:

verkefni1_mengi

„Merkið 1 við réttar staðhæfingar og 0 við rangar.“ Really?

Rödd stærðfræðingsins í mér segir: „já fínt, þetta er bara um það að læra nákvæmni í meðferð einfaldra tákna. Ef maður skilur táknin er þetta ekkert mál, reglurnar um meðhöndlun þeirra eru ótvíræðar“. Rödd stærðfræðimenntunarfræðingsins (í tilfinningalegu uppnámi) segir: „það er ekki ein einasta vitglóra í því að láta 16 ára nemendur fást við að læra táknmál sem hefur engan tilgang fyrir þá og tekur tíma frá því að kljást við bitastætt stærðfræðilegt innihald, að greina, skapa, rökstyðja (sanna), að tengja stærðfræði við aðra hluti, að nota stærðfræði til að svara áhugaverðum spurningum. Það er deginum ljósara að margir nemendur eiga erfitt með þetta vegna þess að þetta er ekki um neitt og hjálpar þeim ekki að skilja neitt. Og þó að margir geti „náð þessu“ þá geta þeir ekki náð því til hvers þetta er, vegna þess að svarið við því er: ekki til neins.“ Í alvöru talað, að æfa formlegan rithátt í stað þess að glíma við innihald: fyrstu kynni nemenda í framhaldsskóla af stærðfræði! Ég gæti grátið.

Í stað þess að gráta hef ég hins vegar búið til verkefni sem fær nemendur til þess að tala saman og byggir á hönnun eftir Malcolm Swan. Það gengur út á að læra að túlka og umbreyta af einu framsetningarformi (e. mode of representation) yfir á annað (og tilbaka) – sem er lykilatriði í stærðfræðinámi til skilnings. Það er mun mikilvægara fyrir skilning en umbreyting innan sama framsetningarforms (sem hefur eins og áður sagði miklu meira vægi í hefðbundinni stærðfræðikennslu.)

Nemendur fá blöð með tvenns konar framsetningum á mengja-aðgerðum. Önnur framsetningin er teikning af hringjum, sem er eins konar „íkonísk“ framsetning, þ.e. teikningin „samsvarar“ aðstæðunum sem hún sýnir. Hitt er mengjatáknmál, sem er táknræn framsetning, þ.e. það er ekkert við táknin sjálf sem segir hvað þau merkja. Nemendur eru þrjú og þrjú saman og þau klippa út miða og para saman framsetningar og líma á plakat. Sums staðar á sama framsetning á einu formi við um tvö á öðru og sums staðar vantar framsetningu á einu forminu. Þá eiga nemendur að búa hana til sjálfir. Hér eru blöðin á myndaformi (nenni ekki að setja pdf hér og nú.)

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.41 PM

Screen Shot 2013-08-28 at 21.04.20 PM

 

Svona ef einhver kynni að vilja prófa þetta.

Hvað er vitað um stærðfræðikennslu?

Hvernig er best að kenna stærðfræði?

Það er ekki hægt að svara þessari spurningu. Vegna þess að fyrst þarf þá að spyrja nokkurra annarra spurninga: hvað áttu við með stærðfræði? Hvers konar mælikvarða viltu nota til að greina hið betra frá hinu verra? Best fyrir hvern? Þetta eru alls ekki einfaldar spurningar eða hártoganir.

Þessi færsla sprettur af athugasemd sem ég las á netinu þar sem fullyrt var að tiltekin tegund af kennslu (byggð á atferlisstefnu) hefði sýnt sig að ná betri árangri en önnur (byggð á hugsmíðahyggju). Fyrst þarf auðvitað að taka fram að „kennsla byggð á“ einhverri tiltekinni almennri hugmynd um nám getur þýtt hvað sem er og við vitum ekkert um það hvað raunverulega er verið að gera í kennslustundum. Næst koma spurningar eins og ég nefndi í upphafi.

En mig langar að nefna eitt. Langt er síðan fræðimenn og áhugamenn um stærðfræðimenntun hófu að kvarta yfir því að stærðfræði sé kennd og lærð sem reiknitækni til að læra utanbókar, án merkingar. Skoðum nokkrar tilvitnanir í tímaröð, fyrst Augustus De Morgan (1865):

Mathematics is becoming too much of a machinery; and this is more especially the case with reference to the elementary students. They put the data of the problems into a mill and expect the result to come out ready ground at the other end. An operation which bears a close resem-blance to that of putting in hemp seed at one end of a machine and taking out ruffled shirts ready for use at the other end. This mode is undoubtedly exceedingly effective in producing results, but it is certainly not soaked in teaching the mind and in exercising thought.

Næst er það grein frá 1947, “The place of meaning in the teaching of arithmetic” eftir Brownell úr The Elementary School Journal, 47(5).

The chief reason for our vital interest in arithmetical meanings is to be found, I think, in the demonstrated failure of relatively meaningless programs. The latter programs have not produced the kind of arithmetical competence required for intelligent adjustment to our culture.

Svo er það ein frægasta grein stærðfræðimenntunar, frá 1973, “Benny’s Conception of Rules and Answers in IPI Mathematics” sem breytti fræðasviðinu til frambúðar. IPI (Individually Prescribed Instruction) var kerfi utan um einhvers konar „einstaklingmiðað“ nám (en á lítið skylt við hugtakið einstaklingsmiðað nám eins og það hugtak er skilgreint á Íslandi í dag), sem gekk út á að hver og einn nemandi vann sjálfstætt á sínum hraða gegnum námsefni, tók próf úr efninu og gat haldið áfram ef hann náði því nógu vel. Ég held að svona lagað sé líka kallað hlítarnám (mastery learning). Í stuttu máli leiddi rannsókn Erlwanger í ljós að nemendur gátu náð góðum „árangri“ í þessu kerfi án þess að skilja nokkurn skapaðan hlut og með alvarlegar ranghugmyndir um stærðfræði. Grípum niður í niðurstöðukaflann [ég þakka Mathed.net fyrir tilvitnunina]:

Benny’s misconceptions indicate that the weakness of IPI stems from its behaviorist approach to mathematics, its mode of instruction, and its concept of individualization. The insistence in IPI that the objectives in mathematics be defined in precise behavioral terms has produced a narrowly prescribed mathematics program that rewards correct answers only regardless of how they were obtained, thus allowing undesirable concepts to develop. (57)

Fram að þessu höfðu rannsóknir í stærðfræðimenntun einkum verið megindlegar: aðferðir tölfræðinnar voru notaðar til að lýsa og bera saman árangur tilraunahópa og samanburðarhópa. Erlwanger sýndi fram á að nauðsynlegt er að tala við og hlusta á nemendur og reyna að skilja hvernig þeir skilja stærðfræði, hver merking hennar er fyrir þeim. Í dag eru því eigindlegar aðferðir notaðar með megindlegum, og jafnvel mun frekar.

Ekki meira í bili nema þetta: Ég veit ekki til þess að neinn fræðimaður á sviði stærðfræðimenntunar mæli með aðferðum sem byggja á atferlisstefnu til að kenna stærðfræði. En þá er þess að geta að þá er ekki litið á stærðfræði sem safn af reikniaðferðum til að geyma í minninu heldur frekar eitthvað eins og lifandi merkingarvef (í allt of stuttri yfirborðslegri lýsingu!)

Stelpur, strákar og stærðfræði

Í hundrað þúsund ár spurðu karlar sjálfa sig að því hvers vegna konur væru svona heimskar. Eftir að fræði urðu til og háskólar varð spurningin æ áleitnari. Hvað skýrir yfirburði karla í öllum vísindum og listum, spurðu menn. Og þetta voru hlutlægir yfirburðir, niðurstöður prófa, sem sýndu að óþarft var að senda stúlkur í langskólanám – það væri léleg fjárfesting. Hinir víðsýnni voru tilbúnir að gera undantekningar – ein og ein kona næði ef til vill þroska á við karlmann, og þær mættu auðvitað njóta þess. Við vitum auðvitað að þessi viðhorf hafa að nokkru leyti breyst. Konur njóta sömu réttinda á blaði og karlar. En allt fram á síðustu ár hafa verið vinsælar hugmyndir um líffræðilegan eðlismun á hugsun karla og kvenna. Eru strákar ekki aðeins hæfileikaríkari í stærðfræði og í að bakka bíl í stæði? Og stelpur betri í að skynja tilfinningar annarra og töfra fram kvöldmat handa fjölskyldunni?

Til að halda áfram og lesa allan pistilinn þarftu að fara á KNÚZ – femínískt vefrit.

Deilingarleikni spáir fyrir um árangur í stærðfræði

Þekking barna á almennum brotum og deilingu spáir fyrir um gengi þeirra síðar meir í stærðfræði, segir í nýlegri grein (Early Predictors of High School Mathematics Achievement). Ég sá þetta á einu af stærðfræði/menntunar-bloggunum sem ég les reglulega, The Aperiodical.

Ályktanir höfunda greinarinnar eru að það þurfi að leggja mun meiri áherslu á skilning kennara og nemenda á því hvað deiling er, því að vanskilningur á nákvæmlega því sviði standi nemendum fyrir þrifum í frekara stærðfræðinámi. Án þess að fara djúpt í þau rök sem þeir leggja fram þessu til stuðnings verður að skoða vel hvort

  • þekking á einhverjum öðrum afmörkuðum sviðum gæti einnig gefið jafn góðar spár,
  • þekking á þessum tilteknu atriðum séu bara eitt „merki“ um ójafnan skilning nemenda á stærðfræði almennt,
  • þessi „framtíðarvandræði“ væru minni eða engin ef stærðfræðikennsla í skólum í framhaldinu væri öðruvísi en hún er.

Undir lokin benda höfundar á að sýnt hafi verið í öðrum rannsóknum að kennarar í Bandaríkjunum hafi lítinn skilning á deilingu og brotum, til dæmis geti þeir flestir ekki útskýrt hvers vegna deiling með broti er margföldun með brotinu „viðsnúnu“. Greinin er ekki birt í tímariti um stærðfræðimenntun enda erum við í því samfélagi að reyna að hætta að tala um hluti út frá því að það sé eitthvað að kennurum.

— viðbót —

Berglind Gísladóttir spurði mig á Facebook út í síðustu efnisgreinina, og benti svo á að það væri mikilvægt að vita um og skilja þann vanda sem felst í of lítilli stærðfræðiþekkingu kennara og ekki mætti fegra eða fela hann. Ég er alveg sammála því og auðvitað er mikilvægt að halda áfram að rannsaka það. Persónulega tilheyri ég þó þeim sem vilja reyna að færa brennipunktinn: Annars vegar á hluti sem virka, jákvæð inngrip, stuðning, og hins vegar á þá kerfislægu þætti sem hindra framfarir – frekar en að einblína á þekkingu og skilning kennara.