Netafræði: hve margir vegir?

Netafræði er ein grein stærðfræðinnar. Hún kemur líka fyrir í verkfræði og í félagsvísindum. Stærðfræðingar rekja upphaf greinarinnar til svissneska stærðfræðingsins Euler, sem skrifaði fyrstu ritgerðina sem hægt er að segja að falli undir netafræði, árið 1735. Í greininni leysti hann litla þraut sem íbúar borgarinnar Königsberg (sem nú heitir Kaliningrad og tilheyrir Rússlandi) höfðu gaman af því að velta fyrir sér. Hún var um það hvort hægt væri að fara í gönguferð um borgina þannig að farið væri yfir allar sjö brýrnar yfir fljótið Pregel sem rann gegnum borgina, og bara einu sinni yfir hverja brú. Á síðari tímum hefur stærðfræðingum (og mér) þótt skemmtilegt að reyna að vekja áhuga nemenda á netafræði með því að kynna þessa þraut.

Ekki fyrir svo ýkja löngu kynntist ég þó annarri hugmynd: að kynna netafræði gegnum viðfangsefni um félagsleg tengslanet. Greining slíkra neta hefur orðið stærra og stærra umfjöllunarefni, bæði vegna þróunar í félagsvísindum og ekki síður vegna þess að nú í dag tilheyrir fólk stórum félagslegum tengslanetum á internetinu eins og til dæmis á Facebook, og að auki er nú hægt að geyma upplýsingar um stór tengslanet í tölvum og reikna út hluti sem áður hefði tekið gríðalegan tíma.

Svo spurningin er hvort er áhugaverðara fyrir nemendur: hreinar stærðfræðiþrautir, eins og um brýrnar í Königsberg, eða framsetningar á félagslegum strúktúrum, eins og um tengslanet og hvernig hlutir (eins og skilaboð, orðrómar, sjúkdómar, og svo framvegis) flæða um þau?

Í þessu hefti er núna reynt að byrja á tengslanetum:

Rúmfræðibók Descartesar frá 1637

Hér má sjá aðra blaðsíðu í viðauka við bókina Orðræða um aðferð (Discours de la méthode) eftir René Descartes. Viðaukinn heitir Rúmfræðin (La Geometrie) og er talin marka upphaf hnitarúmfræði.

Descartes bls 2

Hönnun síðunar er falleg og athyglisvert að notaðar eru hliðarmálsgreinar („hliðarnótur“) til að gera uppbygginguna skýra.

Þó er innihaldið ennþá áhugaverðara. Efri myndin sýnir hvernig hægt er að margfalda saman tvær tölur með rúmfræðilegri teikningu, ef einingarlengd er gefin. Á myndinni ákveðum við að einingin sé strikið AB (sem telst þá hafa lengdina 1). Tölurnar sem margfalda á saman samsvara strikunum BC og BD. Þau strik má teikna hvernig sem er, svo lengi sem lengdirnar samsvari tölunum sem á að margfalda saman. Þá er teiknað strikið AC og svo er teiknuð lína gegnum D þannig að það sé samsíða AC og fundinn skurðpunktur þeirrar línu og línunnar BC. Sá skurðpunktur er nefndur E. Núna er lengd striksins BE jöfn margfeldi lengda strikanna BC og BD. Ef við leyfum okkur að slá saman strikum og lengdum þeirra, þá er semsagt BC x BD = BE.

Á neðri myndinni er sýnt hvernig hægt er að „reikna“ ferningsrót með teikningu, það er að segja, að teikna strik þannig að lengd þess sé ferningsrót gefinnar lengdar. Hér er ætlunin að finna ferningsrót GH, og einingin er FG. Við finnum miðju FH og nefnum þann punkt K. Teiknum hring með miðju í K (og geisla KH) og teiknum hornrétta línu frá G og finnum skurðpunkt þeirrar línu og hringsins, sem við nefnum I. Þá er strikið GI ferningsrótin sem við vildum finna.

Því sem haldið er fram hér að ofan hefur ekkert verið rökstutt, en það er eftirlátið lesendum að sannfærast um réttmæti þess. Það er hægt að nota sér einslögun þríhyrninga (og þá staðreynd að lengd AB er 1) til að sjá að margföldunin virkar, en fyrir rótardráttinn gæti þurft að þekkja setningu Þalesar og beita einslögun á þríhyrningana FIH og FGI. Þau sem kunna eitthvað í hnitarúmfræði ættu líka að geta tjáð myndirnar á því tungumáli og séð að þetta passar.

Eins og fram kom í upphafi færslunnar er þetta blaðsíða 2 í texta sem talinn er upphaf hnitarúmfræði og venjulega hnitakerfið sem öll læra í skólanum heitir þess vegna líka „kartesíska hnitakerfið“ (Cartesian coordinates) höfundinum til heiðurs. Það sem hann gerði í Rúmfræði var að tengja saman reikning og rúmfræði, þannig að nota mætti rúmfræði til að leysa vandamál í reikningi og algebru, og öfugt. Á síðunni sem sýnd er túlkar hann margföldun, deilingu og ferningsrótardrátt sem aðgerðir á línustrikum, sem var nýjung! Skoðið síðuna aftur og látið gæsahúðina hríslast eftir hryggsúlunni.