Hvítþvottur og svartar skýrslur (færsla 3 af 100)

Það getur verið að síðasta færsla hafi verið óljós, og ekki sjáanlegt að hún hafi einhverja megin niðurstöðu eða boðskap. Enda var ætlunin ekki önnur en að benda á nokkur atriði sem „flækja“ spurninguna um það hvers vegna markmið um „leikni og hæfni varðandi tungumál stærðfræðinnar, miðlun, stærðfræðilega hugsun, lausnir þrauta og verkefna og röksemdafærslur verði útundan.“ Til að skýra þetta betur fyrir sjálfum mér og öðrum, þá dreg ég saman og einfalda nokkrar tilgátur um þetta, og tek fram að þetta er ekki sér-íslenskt vandamál:

  • kennarar hafa ekki næg tök eða nógan skilning á stærðfræði sjálfir,
  • kennarar hafa ekki næga þekkingu á stærðfræðikennslu og -námi,
  • kennarar eru íhaldssamir í eðli sínu,
  • kennarar hafa ekki tíma eða orku til að skipuleggja nám til að ná þessum markmiðum,
  • skólakerfið gefur kennurum ekki færi á því, vegna þess að nemendur (og þar með kennarar) eru metnir út frá árangri á prófum þar sem aðallega eða eingöngu reynir á tóma reiknitækni,
  • samfélagið þarf á „aðgreiningu“ að halda sem lítur út fyrir að vera byggð á hlutlægum, náttúrlegum mælikvarða – þannig lærir fólk sinn „eðlilega stað“, sumir verða smiðir, aðrir listamenn og enn aðrir læknar. Eitt þessara aðgreiningartækja er skólastærðfræði,
  • foreldrar og nemendur eru íhaldssamir í þeim skilningi að þeir vilja ekki taka áhættu innan skólakerfisins, þeir vilja að hlutirnir haldi sér eins og þeir hafa alltaf verið í skólanum,
  • eitt skólastig er háð öðrum skólastigum, breytingar á einum stað hafa afleiðingar á öðrum stað, og það er erfitt að breyta einhverju á einum stað ef ekki er breytt á öðrum,
  • það er ekki samkomulag í samfélaginu um tilgang stærðfræðináms eða menntunar yfirhöfuð.

Undirliggjandi í allri umræðu um stærðfræðimenntun eru óorðaðar forsendur og gildi sem hafa úrslitaáhrif, og skiptast algerlega í tvö horn. Ég nota oft tilvitnun í Richard Skemp (allir ættu að lesa þessa grein sem tengt er á) til að lýsa þessu,

Einu sinni hélt ég að stærðfræðikennarar væru allir að kenna sömu grein, sumir betur en aðrir. Nú er ég þeirrar skoðunar að það sé í raun verið að kenna tvær ólíkar greinar undir sama nafninu, stærðfræði.

Þessu er ætlað að ögra og kannski finnst sumum þetta hrokafullt. Í framhaldinu skilgreinir Skemp tvenns konar skilning: annars vegar tengslaskilning (relational understanding), sem gengur út á (í mjög einfölduðu máli!) að vita bæði regluna og hvers vegna hún er sönn og hvernig hún tengist öðrum reglum og veruleikanum, og hins vegar tæknilegan skilning (instrumental understanding) sem gengur út á að vita regluna en ekki hvers vegna hún er sönn, hvernig hún tengist öðrum reglum, eða heiminum. Hann rökstyður svo hvers vegna við ættum að reyna að kenna tengslastærðfræði í stað tæknilegrar stærðfræði. Staðreyndin er hins vegar að í skólum heims ríkir tæknileg stærðfræði. Og hér að ofan hef ég minnst á nokkrar kenningar um það hvers vegna það er, fyrir utan þá sem er nú augljós, að fleiri en færri kennarar, nemendur, foreldrar og aðrir, telja tæknilegu stærðfræðina vera réttu greinina til að kenna í skólum.

Í framhaldinu mun ég ef til vill geta farið nánar út í þetta, og rætt hugmyndir til úrbóta, sem vissulega er að finna í úttektinni („svörtu skýrslunni“). En ég held að það þurfi einmitt alltaf að ræða gildi og tilgang (stærðfræði)menntunar þegar rætt er um stærðfræðikennslu. Og spurningin „hvað er stærðfræði“ er einfaldlega lykilspurning, þótt sumum geti þótt hún einkennileg eða heimspekileg. Það er ekki samkomulag um svarið, og eðli svarsins hefur miklar afleiðingar. Ég gef enn eina tilvitnun sem mér þykir góð, þessi er í Reuben Hersh:

Hugmynd manns um það hvað stærðfræði er hefur áhrif á hugmyndir manns um það hvernig eigi að setja hana fram. Það, hvernig maður setur hana fram, gefur til kynna hvað maður trúir því að sé kjarni hennar. … Vandinn er þá ekki, Hver er besta leiðin til að kenna stærðfræði? heldur, Um hvað er stærðfræði í raun og veru?

Hvítþvottur og svartar skýrslur (færsla 2 af 100)

Hér verður tæpt á nokkrum mögulegum ástæðum þess að því hvers vegna stærðfræði verður útundan í stærðfræðikennslu. Hér er auðvitað notað ögrandi orðalag, en það sem við er átt er útskýrt í síðustu færslu, en verður mér þó tilefni til að skella fram einni tilvitnun í viðbót, úr eldri skýrslu, Markmið stærðfræðikennslu í grunnskólum og framhaldsskólum – Skýrsla nefndar til að koma með tillögur um hvernig efla megi námsgreinina stærðfræði og stærðfræðiáhuga nemenda í skólakerfinu (1998):

röksemdafærslur [eru] lífblóð stærðfræðinnar, og því má með sanni segja að þegar lítil áhersla er lögð á þær í stærðfræðikennslu eða þeim jafnvel alveg sleppt, þá sé alls ekki verið að kenna fólki stærðfræði, heldur eitthvað allt annað, til dæmis einhverskonar reiknitækni. 

En til að útskýra um hvað málið snýst gæti verið gott að benda á nokkra punkta:

  • skólastærðfræði og stærðfræði eru ekki það sama, og geta ekki verið það sama, en tengsl þessara tveggja fyrirbæra eru engu að síður margslungin, umdeild, og umdeilanleg. Það er erfitt að útskýra þennan mun til fullnustu fyrir þeim sem hefur ekki nokkuð mikla menntun í stærðfræði. Ég geri ráð fyrir að tengsl margra annarra fræðigreina við skólanámsgreinar séu líka þannig. Til dæmis halda eflaust margir að málfræði sem fræðigrein snúist um að taka saman hvað sé „rétt“ mál og hvað sé „rangt“ mál.
  • skólastærðfræði þjónar fleiri hlutverkum en að undirbúa nemendur undir frekara nám þar sem reynir á kunáttu eða getu í stærðfræði, og sum þeirra eru líklega mörgum hulin. Eitt þessara hlutverka er að vera grein sem býður upp á mælitæki sem hægt er að setja fram sem „hlutlægt“ í því að gera upp á milli fólks. Til dæmis eru kröfur um ákveðinn árangur í stærðfræðiprófum til að útskrifast eða til upptöku í nám. Oft er um að ræða nám þar sem umrædd stærðfræði kemur lítið við sögu. Inntökupróf fyrir læknisfræði er dæmi um þetta. Sú stærðfræðiþekking sem prófuð er þar virðist ekki tengjast læknisfræði sérlega mikið. Sumir gagnrýnir stærðfræðimenntunarfræðingar halda því fram að þetta sé hið eiginlega hlutverk stærðfræðinnar í skólakerfinu, og það sé okkar þjóðfélagsskipan nauðsynlegt. Ef stærðfræðin hættir að hafa þetta hlutverk, þá verður eitthvað annað fundið í staðinn. Okkar samfélag mun alltaf finna einhvern mekanisma til að stjórna því hverjir vinna láglauna/lágvirðingarstörf sem ekki krefjast menntunar.
  • það er miklu erfiðara að kenna stærðfræði en að kenna reiknitækni. Til þess þarf djúpan skilning á stærðfræði og stærðfræðinámi, það þarf vissan sveigjanleika í námsefni sem útilokar algera stöðlun og staðlað námsmat, og það næst alls ekki að „fara yfir“ jafn langa lista af efnisatriðum. Það þarf líka meiri vinnu við námsefnisgerð og endurgjöf.

Ef við veltum fyrir okkur samspili tveggja síðustu punktana þá sjáum við að til þess að breyta kennslu í stærðfræði á einu skólastigi þá þurfa næstu skólastig líka að breytast. Ef inntökupróf í eftisótt háskólanám prófar nemendur eingöngu í lítilsverðum sparðartíningi eða reiknitækni, þá munu framhaldsskólar einbeita sér að því að kenna slíkt.

Ef inntökuskilyrði í eftirsótt háskólanám eru um tiltekin efnisatriði, verður forgangur að „fara yfir“ þau atriði. Ef hin æðri skólastig (eða atvinnurekendur þess vegna) hafa ekki trú á getu framhaldsskóla til að útskrifa nemendur sem geta hugsað stærðfræðilega í alvöru, það er rökfasta, gagnrýna, greinandi og skapandi hugsun, undirbyggð af sjáfstrausti, forvitni og löngun til að rannsaka og leita lausna á hinu óþekkta, þá munu þau byggja kröfur sínar á hinum fátæklegu og oft innantómu þekkingaratriðum og reikniaðferðum.

Tvö þemu eru vel þekkt innan orðræðu um umbætur í stærðfræðinámi og -kennslu. Annars vegar er meint íhaldssemi eða þekkingarskortur kennara, hins vegar stífir og staðlaðir rammar skólakerfisins sem halda niðri umbótum í kennslu. Reyndar er all nokkuð liðið frá því að innan (fræðasviðsins) stærðfræðimenntunar færðist áherslan yfir á leiðir til að styðja og styrkja kennara í starfi (frá því að birta greinar sem lýsa því hve lélegir þeir séu). Samfélagsleg staða greinarinnar og rammar skólakerfisins eru að mínu mati erfiðari viðureignar, en það verður bæði að vinna að því að bæta þá ramma og auka sveigju.

Við þetta þarf að bæta umræðu um nám og skóla almennt og hlutverk þeirra. Svo lengi sem við erum ofurseld markaðsröksemdum, sem ganga út á að hámarka afköst og skilvirkni okkar allra, er erfitt að höfða til eldri gilda og markmiða með menntun. Ef markmiðið er að útskrifa sem flesta á sem skemmstum tíma og meta öll frávik í töpuðum vinnustundum og tekjum þá er einhvern veginn ekki hægt að ræða um það að markmið stærðfræðináms, eins og annars náms gætu verið aukin lífsfylling, dýpra og ríkulegra andlegt líf, auknir möguleikar til að hafa áhrif á heiminn, bæði hinn félagslega og efnislega, eða hreinlega aukin lífsnautn. Sem er eitthvað sem stærðfræðin hefur gefið mér.

Hvítþvottur og svartar skýrslur (færsla 1 af 100)

Á dögunum kom út svonefnd „hvítbók“ Illuga Gunnarssonar, menntamálaráðherra. Nokkrum dögum síðar kom út „Úttekt á stærðfræðikennslu í framhaldsskólum“ á vegum menntamálaráðuneytis. Fyrir það fyrsta hef ég svo margt um bæði ritin að segja, að það kemst ekki fyrir í einni bloggfærslu. Ætli ég skrifi ekki fyrst eitthvað örlítið um úttektina, sem hlaut sæmdareinkunnina „svört skýrsla“ á forsíðu Fréttablaðsins.

Þetta er mjög áhugaverð úttekt, og hún staðfestir flest sem ég taldi líklegt, og ég er sammála flestum tillögum sem gerðar eru, og áherslum og sýn höfunda, að mörgu leyti. Efnið sem ég hef persónulega einna mestan áhuga á er það sem þyrfti ef til vill að kalla sambræðing af hugtökunum kennsluhættir og námsefni, eða kannski „hvað er það sem á að fara fram undir heitinu stærðfræðikennsla og hverju á það að skila?“

Ég tek síðustu efnisgrein úttektarinnar:

Breyttar áherslur. Kennsla í stærðfræði má ekki einskorðast við að ná að fara yfir lista tiltekinna efnisatriða eða staðlaðar reikniaðferðir, enda benda niðurstöður könnunarprófs og ummæli háskólakennara til að eftirtekjan sé ansi rýr. Í hæfniþrepunum í aðalnámskránni frá 2011 eru talin upp fjölmörg markmið varðandi skilning og hæfni til að beita stærðfræði. Þessi markmið eru kjarni stærðfræðináms í framhaldsskólum og þau verða að vera í öndvegi í námi og kennslu. 

Við getum rifjað upp að í hæfniþrepunum í aðalnámskrá er meðal annars (ég vel nokkur atriði af mun fleirum) sagt að á hæfniþrepi 3 skuli nemandi geta

  • sett sig inn í og túlkað útskýringar og röksemdir annarra
  • skráð lausnir sínar skipulega, skipst á skoðunum við aðra um þær og útskýrt hugmyndir sínar og verk skilmerkilega í mæltu máli og myndrænt
  • áttað sig á hvers konar spurningar leiða til stærðfræðilegra viðfangsefna, hvaða svara megi vænta og spurt slíkra spurninga
  • beitt gagnrýninni og skapandi hugsun og og sýnt áræði, frumkvæði, innsæi og frumleika við lausn yrtra verkefna
  • byggt upp einfaldar sannanir

Ég læt liggja milli hluta að mér finnst það sem stendur um stærðfræði í námskránni frekar ómarkvisst og stundum of íhaldssamt. Þetta eru allt góð markmið, en bjóða upp á mikla túlkun, og að mati úttektarhöfunda getur verið að sum þeirra séu óraunhæf. Ég veit að margir framhaldsskólakennarar telja þau með öllu óraunhæf, en ég er ósammála því.

Eftir því sem fram kemur í skýrslunni er lítt hugað að þessum markmiðum (og fleirum „í sama anda“). Vitnað er til þeirra örfáu rannsókna sem til eru á kennsluháttum í stærðfræði í íslenskum framhaldsskólum, sem staðfesta það sama: „Kennari byrjar kennslustundina yfirleitt á innlögn og nemendur fara svo að leysa verkefni með aðstoð kennara ef með þarf.“ Byrjunaráfangar eru gagnrýndir fyrir ofuráherslu á algebru og algeran skort á samvinnuverkefnum, ritgerðum og fjölbreyttum vinnubrögðum. Auk þess er rætt um litla virkni og áhuga nemenda, þar sem þeir sóa tímanum í að bíða eftir kennara eða “bjástra við fjarskiptatæki sín.“

Gagnrýni á kennslu í tölfræði og líkindareikningi er hvassari hér:

Óhætt er að fullyrða, út frá fyrirliggjandi gögnum og skólaheimsóknum, að lítið er gert til að efla skilning á efninu. Meiri áhersla virðist vera lögð á reikniaðferðir en að skýra þær hugmyndir sem liggja að baki þeim. Í sumum skólanna gengur þetta jafnvel svo langt að nemendum er fyrst og fremst kennt að leysa nokkrar gerðir af dæmum. 

Í heildarniðurstöðum um kennslu segir:

Svo virðist sem almenn markmið leikni og hæfni varðandi tungumál stærðfræðinnar, miðlun, stærðfræðilega hugsun, lausnir þrauta og verkefna og röksemdafærslur verði útundan. 

 

Sem mætti orða þannig: það sem verður útundan í stærðfræðikennslu, er stærðfræði.

 

Math_is_the_subject

Nú er þetta ekki séríslenskt eða nýtilkomið vandamál. Það má að mínu mati segja að þetta sé eitthvað sem stærðfræðingar og stærðfræðimenntunarfræðingar og aktívistar hafa verið að berjast við í meira en hundrað ár. Það sem kemur mér persónulega stöðugt á óvart er að margir stærðfræðikennarar líta alls ekki á þetta sem neitt vandamál, þetta séu til dæmis ekki raunhæf markmið, það eina sem hægt sé að gera sé að kenna fólki reikniaðferðir og skilningurinn „muni koma seinna“ (fyrir suma) eða að þau allra klárustu muni ná að skilja, þrátt fyrir allt. Hinum duga reikniaðferðir án samhengis, til að ná framtíðarprófum.

Ég vona að úttektin verði lesin og að þetta atriði verði tekið alvarlega, en ég er ekki bjartsýnn. Nú þegar hef ég séð margar athugasemdir á netinu þess efnis að kennarar þurfi ekkert endilega mikla menntun í stærðfræði til að kenna hana, bara að þeir hafi einhverja reynslu í að nota hana í einhverrri grein eða vinnu. Ég held að slíkir einstaklingar eigi oft erfitt með að gera annað en að kenna reikniaðferðir til að reikna nokkrar gerðir af dæmum. Sem er oft eitthvað sem virkar til skemmri tíma, til að ná tilteknum prófum.

En það er eitt að benda á og annað að bæta úr. Til að ítreka þetta vitna ég í úttektina, sem vitnar í eldri námskrá, frá 1999:

Kennsla í stærðfræði ætti að efla rökfasta hugsun en hún þarf einnig að efla hugkvæmni. Hún á að laða fram gagnrýna og greinandi hugsun hjá nemandanum en einnig sjálfstraust, forvitni og löngun til að rannsaka og leita lausna á hinu óþekkta.

Og eftirfarandi athugasemd, sem verða lokaorð í þessum stutta pistli, er dæmigerð fyrir stærðfræðinga, án þess að ég geti útskýrt það í hörgul, en hefur kannski að gera með all verulegan úrdrátt:

Þegar best lætur í stærðfræðikennslu nást þau markmið sem hér er lýst, en það er ekki auðvelt.