Hlekkir stærðfræðikennarans

Þessi vefur minn er ákveðin tilraun til að búa til samræðu eða að minnsta kosti veita einhverjum hugmyndum út í samfélag stærðfræðikennara á íslensku. Að vísu hefur lítil samræða orðið og það er lítið samfélag meðal stærðfræðikennara. Innblástur minn er einkum bandarískir stærðfræðikennarar og menntapælarar. Ég ætla að reyna að koma þessum tenglum í skipulagt safn hér til hliðar, en ég kann ekki sjálfvirka aðferð til að gera það með einum smelli svo ég hendi þessu inn hér á meðan:

Blogg sem allir stærðfræðikennarar ættu að fylgjast með:

Ég mæli með því að fólk fái sér „lesara“, þe. forrit sem safnar saman bloggfærslum. Dæmi um lesara eru Old Reader og Feedly. Einnig er sniðugt að fylgjast með á twitter, þar sem flestir bloggarar sem eru hér að ofan eru líka.

Nokkrar mjög gagnlegar vefsíður fyrir stærðfræðikennara:

Stærðfræðiforrit á línunni sem eru bæði fyrir kennara og nemendur:

  • Geogebra (Öflugt stærðfræðikennsluforrit. Ætti að vera í notkun í öllum kennslustofum.)
  • Desmos (Reikni- og teiknivél á netinu. Falleg og einföld í notkun.)
  • Wolfram alpha (Stærðfræðiforrit á netinu. Gerir mun meira en Desmos.)
  • Sage (Alvöru stærðfræðihugbúnaður, hentar lengra komnum.)
  • R (Alvöru tölfræðihugbúnaður, hentar lengra komnum.)

Forritunarumhverfi sem henta vel til að læra stærðfræði og forritun:

  • Scratch (Hentar krökkum frá 8 ára aldri. Það liggur við að ég vilji gera Scratch forritun að skyldunámsgrein í staðinn fyrir stærðfræði.)
  • Processing (Hentar öllum, frá kannski 10-12 ára. Það er mögulegt (og skemmtilegt) að læra um vigra (vektora) og hnitarúmfræði gegnum forritun í Processing.)

Myndbönd um stærðfræði:

  • Numberphile (Youtube-rás með áhugaverðum og skemmtilegum myndböndum um stærðfræði) 

Ég vona að einhverjir muni prófa að smella á eitthvað af þessu!

Nám í stærðfræði bætir ekki hæfni til að draga ályktanir af sögulegum heimildum

Í gær setti ég eftirfarandi færslu á facebook:

Meira en 100 ár síðan fyrst var sýnt að það að læra eitthvað (eins og latínu, rúmfræði, algebru) bætir ekki almenna rökhugsun, námgetu, minni, eða neina aðra andlega færni. Samt trúa margir á svona, til dæmis að stærðfræðinám bæti rökhugsun.

Í framhaldinu átti ég í samræðu við Ásu Lind Finnbogadóttur og svo bætti Anna Kristjánsdóttir við. Mín tilfinning er að merking færslunnar hafi verið óljós og lesendur eins og Ása og Anna hafi túlkað hana í áttir frá því sem ég ætlaði. En ég veit það reyndar ekki frekar en þær eða aðrir. Merking er í grundvallaratriðum óstöðug og síbreytileg, þó að okkur takist oft að ná nógu góðri sátt og samskilningi til þess að halda áfram, til að finnast við hafa náð að samræma skilninginn (nógu vel, tímabundið). Ég hef í nokkur ár verið heillaður af samræðuhyggju (mín „þýðing“ á dialogism) sem (samkvæmt mínum skilningi) gengur út á meðal annars þetta: merking orða og athafna er í sífelldri þróun í samræðu. Ég ræð ekki merkingunni í þessari stöðufærslu, viðtakendur leika þar jafn stórt hlutverk, og ekki síður hin áframhaldandi samræða. Ég held að samræðan í gær hafi að minnsta kosti gert eitthvert gagn, þó að enn kunni að vera ólíkur skilningur – það er einmitt ólíkur skilningur fólks sem færir okkur áfram, og eykur skilning allra.

Það er ekki hægt að segja allt. Einföld staðreynd, sjálfsögð sannindi, en einmitt það sem veldur oft ágreiningi. Til að skýra orð mín „til fullnustu“ (sem er ekki hægt, því orð hafa marga merkingarmöguleika og við notum okkur þá staðreynd meðvitað og ómeðvitað til þess að leyfa viðtakendum að túlka / velkjast í vafa það sem við meinum) þyrfti ég að segja frá allri minni heimssýn, skoðunum, skilningi á orðum og veruleika. Skilningur fólks á milli er mögulegur, hann gerist á hverjum degi, en hann er aldrei fullkominn. Ég veit hvað þú meinar en samt ekki alveg. Enda meinarðu ekki alveg eitthvað eitt og veist ekki endilega sjálf/ur alveg hvað þú meinar.

Öll þessi „vandræði“ við margræðni orða og athafna eru jafnframt einmitt það sem gerir okkur mögulegt að eiga samskipti um allt mögulegt, nýjar aðstæður, sköpun og svo framvegis. „Eitt orð, ein merking“ er eins langt frá eðli samskipta og hægt er að komast.

En aftur að efninu: það sem ég hafði í huga varð til við lestur á tveimur greinum. Fyrst Claxton, “Mathematics and the mind gym: how subject teaching develops a learning mentality”, í For the learning of mathematics, 24(2), 2004:

it is not clear that mathematics is the new Latin – in the sense of providing any kind of effective, generic ‘training of the mind’. Of course, Latin never was, despite the rear-guard rhetoric of its adherents, and there is no evidence that I am aware of that students of mathematics show any enhancement of their spontaneous, real-life powers of deduction, logical argument and so on.

En líka Smith, “Why is Pythagoras Following Me?”, í Phi Delta Kappan, Feb. 1989 sem vitnar í rannsókn Thorndike og Woodworth frá 1901 (þess vegna sagði ég „meira en 100 ár síðan“),The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions (I)

Improvement in any single mental function rarely brings about equal improvement in any other function, no matter how similar, for the working of every mental function group is indicated by the nature of the data in each particular case.

Svo að punkturinn er ekki sá að kennsla og/eða nám geti ekki haft áhrif á „greind“, hvað sem það er, segjum bara getu til að læra að gera hluti. Heldur að venjulegt nám í einhverju tilteknu, eins og algebru, rúmfræði, latínu, málfræði, skák (svo eitthvað sé nefnt af því sem stundum er talið „þjálfa heilann“) hefur aðallega áhrif á getu fólks til að fást við þau tilteknu eða mjög skyldu hluti sem námið miðaðist að. Ég er til dæmis alveg búinn að fá nóg af þeirri fullyrðingu að stærðfræðinám þjálfi rökhugsun. Ef stærðfræðinámið miðast að því að þróa rökhugsun nemenda (sem það ætti að gera en er ekki endilega venjan) þá getur það gert það, þó að það verði stærðfræðileg rökhugsun sem þá er þroskuð. Og sú tegund rökhugsunar er ekki endilega gagnleg fyrir ýmis önnur svið fræða eða tilverunnar almennt.

Það skortir ekkert á mýgrút dæma um það að fólk sem er mjög klárt í slíkri rökhugsun segir tóma vitleysu um aðra hluti, sem það hefur ekkert vit á.

Alltaf, stundum eða aldrei satt?

Er eftirfarandi jafna alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn? Við hugsum okkur hér að bókstafirnir a og b séu tölur.

\frac{a}{b}=\frac{b}{a}

Ef hún er alltaf eða aldrei sönn, útskýrðu hvers vegna. Ef hún er stundum sönn, gefðu dæmi um það, og gerðu tæmandi grein fyrir öllum slíkum dæmum ef þú getur.

Með því að setja fram fullyrðingar, eins og til dæmis jöfnur, með þessum hætti, í stað þess að leggja fyrir verkefni eins og „leystu jöfnuna …“ gerist eitthvað sem er dálítið merkilegt. Sérstaklega ef nemendur eiga að svara spurningunum í litlum hópum. Í stað þess að annaðhvort byrja að „reikna“ samkvæmt einhverjum (oft hálfgleymdum eða óljósum) reglum, eða gefast upp vegna þess að þeir „vita ekki hvernig þeir eiga að leysa þetta“, þá skapast samræður og pælingar. Nemendur fara jafnvel að prófa einhverjar tölur.

Þetta form á spurningu er eitt af því sem ég kynntist hjá breskum fræðimönnum í stærðfræðimenntun, man ekki hvort ég sá þetta fyrst hjá John Mason eða Malcolm Swan.

Ég lagði verkefni fyrir tvo fyrstu bekki á náttúrufræðibraut í síðustu viku, sem var ekkert annað en listi af fullyrðingum sem þau áttu að meta á þennan hátt. Að vísu má segja að ég sé að teygja aðeins á rökfræðinni í „ef … þá“ fullyrðingum. Því hvað þýðir að slík fullyrðing sé stundum sönn? Hugmyndin er að ef maður gefur sér einhverjar fleiri forsendur geti annars röng fullyrðing orðið sönn (smellið á mynd til að stækka).

Screen Shot 2013-09-15 at 15.14.37 PM

Ég gæti kennt allan áfangann sem lista af svona fullyrðingum. (Sé reyndar að síðasta verkefnið er ekki svona fullyrðing!)

ps. Um upphaflegu jöfnuna: reynslan sýnir að ein leið til að gera jöfnuna sanna kemur mörgum ekki í hug, möguleikinn a=b er ekki sá eini.

Hvernig á að drepa stærðfræði?

Í bókinni STÆ-203 sem ég hef minnst á nýlega er fyrsti kaflinn um „mengjareikning“ en annar kaflinn er um „talnareikning“ en það þýðir m.a. (fyrsti undirkafli) að þátta náttúrlegar tölur í frumþætti. Það er engin tenging, þráður eða samhengi milli þessara kafla. Á þriðju blaðsíðu þessa kafla (bls. 23 í bókinni) er sett fram regla (án þess að á undan fari einhverjar pælingar eða spurningar um hana eða það sem hún fjallar um):

STÆ_203_R2.2_FrumtölurEf til vill er nauðsynlegt að ítreka að hér hefur ekkert farið á undan, til dæmis spurningar eins og:

  • Eru frumtölur endanlega margar?
  • Eru tölur á borð við 2 x 3 x 5 + 1 eða 2 x 3 x 5 x 7 + 1 (osfr) nauðsynlega frumtölur?
  • Ef 2 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 2 þá nauðsynlega upp í a eða b?
  • Ef 4 gengur upp í margfeldi tveggja talna, a x b, ganga 4 þá nauðsynlega upp í a eða b?

Það sem vísað er til í sönnuninni er regla 2.1 sem er svona sett fram (og allur kaflinn fram að því):

STÆ_203_R2.1_Grunnregla

Varla þarf að taka fram að regla 2.1 er sett fram án sönnunar. Það er hvorki tekið fram að það er hægt að sanna hana (en sönnunin er hins vegar ekki „viðeigandi“ fyrir lesendahópinn) né gefið til kynna að reglan sé ekki augljós.

Til samanburðar er hér brot úr bókinni Málsvörn stærðfræðings (í þýðingu Reynis Axelssonar):

Málsvörn_Frumtölur_1

Málsvörn_Frumtölur_2Nú kann sumum að finnast upphafning Hardy óviðeigandi í kennslubók (af hverju samt?) En þetta efni, þessi regla (eða setning, eins og við segjum í stærðfræðinni) hefur engan annan tilgang en þann að dást að henni. Hún hefur enga praktíska þýðingu fyrir nemendur, hjálpar þeim ekki að leysa nein hversdagsleg eða fræðileg viðfangsefni, ekki einu sinni í stærðfræði. Nema þeir fari út í talnafræði í framhaldsnámi á háskólastigi. Og það er reyndar merkileg staðreynd að þessi setning hefur hagnýtan tilgang, sem tengist (m.a.) dulritun gagna. En það er ekki efni sem nemendur á þessu stigi tengja við eða gera nokkuð með, þó að það sé fínt að segja þeim frá því (það er ekki minnst á þetta í bókinni).

Eini hagnýti tilgangurinn er fagurfræðilegur og hugsanlegur stærðfræðilegur þroski – en hann fæst ekki nema að nemendur pæli dálítið í þessu og fái tækifæri til þess að spyrja spurninga sem svarað er með reglunni.

Og svona í lokin: ég segi nemendum alltaf frá tvíburafrumtölum (twin primes) í þessu samhengi. Eru til óendanlega mörg pör af frumtölum sem eru þannig að mismunur talnanna er 2? (Dæmi: 5 og 7, 41 og 43). Þessu er enn ósvarað – hvað heldur þú? (Síðastliðið vor vakti athygli þegar áður óþekktur stærðfræðingur, Yitang Zhang, sannaði að til er tala N sem er í mesta lagi 70.000.000 sem er þannig að til eru óendanlega mörg pör af frumtölum þannig að munurinn á þeim er minni en N.)

Föndurverkefni um föll

Í stað þess að eyða tímanum í að þjálfa nemendur í að herma eftir reiknitækjum (til að ná færni í því að umbreyta táknarunum innan sama framsetningarháttar) vil ég að nemendur búi til tengingar milli framsetningarkerfa, meðal annars milli framsetninga á aðstæðum á tiltölulega vernjulegu tungumáli og framsetninga á stærðfræðitáknmáli svo og framsetninga eins og línurita. Eitt verkefni sem nemendur (1. bekk á félagsvísindabraut) gerðu í vikunni, var að klippa út, flokka og para saman ólíkar framsetningar á föllum. Þeir fengu eftirfarandi blöð, og áttu að klippa út miðana:

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.15 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.44.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.38 PM

Screen Shot 2013-09-07 at 16.45.06 PM

Athugið að það vantar nokkrar framsetningar og að það getur verið að tvær framsetningar innan sama háttar séu jafngildar.

Nemendur á þessu stigi þurfa dálítinn stuðning og samræðu við kennara til að ráða fram úr þessu, en með því að tala saman náðu þeir að gera þetta mjög vel. Þeir notuðu líka reikni- og teiknivélina Desmos (á tölvum og/eða símum) til að aðstoða sig. Ég birti hérna eina lausn (við skiptum þessu á tvö plaköt, svo hér eru bara tveir framsetningarhættir tengdir saman.)

Lausn_klippa_lima_foll

Krotað er yfir nöfn nemenda…

(Fyrir þá smámunarsömu: Það mætti gagnrýna örfá línurit fyrir að sýna gildi sem hafa ekki merkingu í samhengi við textann (t.d. neikvæðar hliðarlengdir.))

Nú þarf ég að setja meiri fókus á það hvernig nemendur geta unnið saman þannig að þeir læri sem mest og allir fái að vera með, þau æfi sig í að hlusta og ræða um hugmyndir hvers annars.

Reiknivélar

Ég er á móti reiknivélum í skólum. Vegna þess að reiknivélar eru álíka úreltar og reiknistokkar (fyrirbæri sem fáir muna eftir, ekki það sama og tommustokkur). Allt sem reiknivél gerir, gerir spjaldtölva eða snjallsími miklu betur. Hægt er að velja úr forritum sem gera það sama eða miklu meira. Eitt af þeim fallegri og betri sem ég hef séð er Desmos. Desmos gerir allt sem venjuleg reiknivél gerir en bætir um betur. Hún leysir jöfnur, teiknar föll, sýnir punkta á ferlum, skyggir svæði samkvæmt ójöfnum og margt fleira. Hún er afar einföld í notkun og býr til mjög skýrar og fallegar myndir. Og virkar í öllum nútíma vöfrum, hvort sem notandinn er að nota Apple, Windows eða Android.

Screen Shot 2013-09-01 at 23.17.22 PM

Ég hef gaman af því að kvelja teiknivélar með fallinu sin (1/x)

Ég legg til að við hendum reiknivélunum í ruslið. Ég meina, setjum þær í endurvinnslu. Og uppfærum námsefnið og námsmatið til samræmis. Það er ekki boðlegt að halda í úrelt námsefni til þess eins að geta haldið próf af tiltekinni gerð.