Að þrasa, jáa eða leita sannleika

Nú verður hópverkefni krakkar.

Margir vina minna þola ekki „að vinna hópverkefni“. Þoldu þau ekki í grunnskóla, framhaldsskóla eða háskóla. Sjálfur var ég ekki hrifinn af þeim, þangað til á seinni árum – nema stundum þegar ég fékk að vinna með góðum vinum mínum. Ástæðurnar eru til dæmis að það er ömurlegt að lenda í hópi með fólki sem hefur engan áhuga á verkefninu, eða segir tóma vitleysu.

Stærðfræðikennarar eru margir ragir við að láta nemendur vinna saman. Telja líklega að þá sleppi einhverjir við lærdóm sem þeir hefðu annars hlotið. Sumir gera þetta þó, og leyfa nemendum að reikna saman. En oft leiðir það ekki til mikilla breytinga. Nemendur bera kannski saman svörin og benda hvort öðru á eitt og eitt atriði. Ávinningur af þessu er oft frekar lítill.

Neil Mercer setti fram hjálplega flokkun samtala, sem hjálpar okkur að hugsa um aðstæður sem þessar. Skiptingin er auðvitað gróf einföldun á raunverulegu tali, en hún er gagnleg engu að síður. Talinu skiptir hann í þras (disputational talk), að jáa (cumulative talk), eða leitandi tal (exploratory talk). Ég ber einn ábyrgð á þessum hálfkæringslegu íslensku heitum.

Þegar fólk þrasar þá vill það ekki sjá hlutina frá sjónarhorni hinna. Það ítrekar eingöngu sína eigin skoðun án þess að taka tillit til þess sem aðrir leggja fram. Samtalið verður samkeppni. Þetta þarf ekki að vera reiðilegt eða tilfinningaríkt. Til dæmis getur fólk verið „sammála um að vera ósammála“ og hvort sína skoðun. Lykilatriðið er að taka ekki orð hins inn í sína eigin hugsun. Dæmi úr stærðfræðikennslustofunni:

– Svarið er 17.

– Nei það er 14.

– Ég held að það sé 17.

– Ég held að það sé 14.

Þegar fólk jáar, byggja viðmælendur gagnrýnislaust á hvers annars framlagi, bæta við upplýsingum og skapa saman þekkingu og skilning. Í þessum ham getur fólk saman búið til röksemdarfærslur ef það er fyrirfram sammála. Hver og einn styrkir sannfæringu sína í krafti hópsins.

– Svarið er 17.

– (skrifar: 17) En næsta?

– Þar er það 14.

(Og svo framvegis)

Í leitandi tali reyna viðmælendur að skilja framlög annarra á gagnrýninn og uppbyggjandi hátt. Upplýsingar eru lagðar fram til sameiginlegrar íhugunar. Tillögur og gagntillögur eru settar fram, en í öllum tilvikum eru settar fram ástæður og stungið upp á öðrum möguleikum. Reynt er að ná fram samkomulagi sem veitir grunn að árangri og framvindu. Þekking og römsemdir eru opinberar (viðmælendur halda upplýsingum og ástæðum sínum ekki fyrir sig).

– Svarið er 16, vegna þess að froskurinn fer tvö skref á dag.

– En hvað ef … síðasta daginn kemst hann alla leið upp, og rennur ekki aftur niður?

– Ó þá þurfum við að telja upp á nýtt… er þetta þá 15?

(Og svo framvegis)

Þessi dæmi eru auðvitað mjög frumstæð en ég vona að þau gefi einhverja hugmynd. Önnur leið til að taka saman megin einkenni á afstöðu í þessum talsháttum er: í leitandi tali eru sett á bið bæði sjálfvirk ógagnrýnin „já“ (eins og í jáun) og sjálfvarnar „nei“ (eins og í þrasi). Í staðinn fer fram samtal þar sem mismunur er ræddur opinskátt og ástæður gefnar og metnar. Í stað þess (sem oft gerist) að viðmælendur einbeiti sér að sínum hagsmunum,  félagslegri stöðu eða virðingu gagnvart hinum, reyna þeir að uppgötva nýjar leiðir til að skapa merkingu.

Og þá er komið að því að segja hið augljósa: það er mikill vandi að skapa leitandi samræður. Það gerist ekki af sjálfu sér. Tungumál og samskipti eru gríðarlega öflug tæki til að læra, en það þarf að gera það meðvitað. Það getur verið nauðsynlegt að æfa sig og veita nemendum stuðning. Til dæmis með því að ræða við þá um þessar þrenns konar samræður. Biðja þá um að hlusta vel á hugmyndir annara en spyrja líka: hvers vegna? Og þegar þeir tala sjálfir, að nota orð eins og „vegna þess að“.

Stærðfræði er listin að útskýra, segir Paul Lockhart í frægri ritgerð (sem allir ættu að lesa). Nemendur eiga að útskýra fyrir öðrum og hlusta á og meta útskýringar annarra. Annars eru þeir ekki að læra stærðfræði.

 

Fljót að hugsa

Hugsum okkur eftirfarandi:

  • Tiltekinn sjúkdómur hrjáir einn af hverjum þúsund.
  • Blóðprufa gefur falska jákvæða niðurstöðu í 5% tilfella (m.ö.o. ef maður er ekki sýktur segir prófið (ranglega) að maður sé sýktur í 5% tilfella).
  • Einstaklingur fær jákvæða niðurstöðu í blóðprufu.

Hvað getum við sagt um líkindi þess að einstaklingurinn sé veikur af sjúkdómnum ef við vitum ekkert annað um hann, hvorki um sjúkdómseinkenni né annað?

Við fyrstu umhugsun, myndirðu meta líkurnar

  • Meiri en 75%
  • Á bilinu 50-75%
  • Á bilinu 25-50%
  • Minni en 25%

Áður en lengra er haldið er rétt að geta þess að reynslan sýnir að fólk á almennt í erfiðleikum með að svara þessu rétt. Líka vel menntað fólk til dæmis langt komnir læknanemar, starfandi læknar og prófessorar í læknisfræði.

Margar leiðir eru til þess að reikna út nákvæmt svar. Ein leiðin er að hugsa sér þúsund manns, og teikna mengjahringi til að flokka fólkið. Önnur er að teikna „líkindatré“. Þriðja er að nota „Bayes-reglu“. Mig langar eiginlega ekki að vera nákvæmari, til að eyðileggja ekki fyrir þeim sem vilja gera sjálfir. Á hinn bóginn langar mig að sýna eitthvað, kennslulostinn er svo óslökkvandi. Vinsamlegast ekki halda áfram að lesa nema að gera tilraun til að leysa verkefnið.

Segjum að við höfum valið 1000 manns. Skoðum hvernig hópurinn skiptist:

Í stóra hringnum eru allir 1000. Hve margir ættu að vera veikir? Hve margir neikvæðir samkvæmt prófinu? Hve margir jákvæðir?

Rétt svar við upphaflegu spurningunni er tæp 2%, tala sem kemur flestum á óvart fyrir smæðar sakir.

Gott stærðfræðilegt verkefni er að alhæfa þetta, reyna að gera sér skýra grein fyrir því hvernig má almennt leysa sambærileg verkefni. Hægt er að smíða reiknivél í töflureikni eða forriti eins og GeoGebru sem leysir þau „öll í einu“.

Í fræðunum er hlutfall þeirra sem eru veikir af sjúkdómi í tilteknu þýði kallað algengi sjúkdómsins (prevalence eða base rate). Hlutfall veikra einstaklinga sem fær jákvæða prófniðurstöðu nefnist næmi prófsins (sensitivity). Hlutfall einstaklinga sem ekki hafa sjúkdóminn sem fær neikvæða prófniðurstöðu nefnist sértæki prófsins (specificity). Í okkar dæmi er næmið 95%.

En spurningin og stærðfræðin eiga ekki einungis við um sjúkdómspróf heldur ótalmargt fleira. Mistök í mati á líkindum og í röksemdarfærslum um aðstæður eins og hér var greint frá eru algeng og margar fræðigreinar hafa verið skrifaðar um þau, og settar hafa verið fram kenningar um heila og huga sem eiga að útskýra þau. Mistökin eru flokkuð undir tegundina „base-rate neglect“. [Frægasta greinin um verkefnið hér að ofan (the medical diagnosis problem) er líklega Casscells, W., Schoenberger, A. and Grayboys, T. (1978):  Interpretation by physicians of clinical laboratory results. New England Journal of Medicine, 299, 999-1000.] Sem manneskjum virðist okkur eðlislægt að hrapa að kolröngum niðurstöðum.

Úreld gagnrýni og kennsluhættir framtíðar: punktar I.

Nemendur eru latir.

Skólanám snýst um form en ekki innihald.

Kennsluhættir eru úreldir.

Ég hef lesið að Sókrates (eða Platón) hafi kvartað yfir agaleysi nemenda sinna. Reyndar hefur internetið gert mér mögulegt að grenslast fyrir um það hvar nákvæmlega þetta stendur í fornum bókum, og sú leit endaði, eins og oftast vill verða, með því að sýna fram á að engar traustar heimildir eru til fyrir þeim orðum. Enn eitt dæmið um að tilvitnanir í fræga menn á netinu eru alltaf rangar. Eða hér um bil. En þetta var útúrdúr, því kvartanir um agaleysi og leti ungs fólks eru gamalt stef.

Þessi klippa er frá 1857, en ég hef heyrt virta núlifandi kennara og vísindamenn tala opinberlega um það hve þeim nemendum sem þeir taka við fari hrakandi og verði sífellt lélegri. Það sýnir einungis fram á eitt: það að vera góður í að hugsa á einu sviði, með tilheyrandi gagnrýni, skarpskyggni og sköpunargáfu, yfirfærist ekki á önnur svið.

Og þá að „21. aldar námi“ eða skólum framtíðarinnar eða nútímans, þar sem hið úrelta fyrirlestraform verður lagt niður. Sjálfur hef ég lítið álit á fyrirlestrum. Ég tel mig lítið hafa lært á þeim flestum. En góður fyrirlestur getur auðvitað nýst áheyrendum sem tilbúnir eru fyrir akkúrat þann fyrirlestur. Hér er ágæt lýsing á mínu eigin háskólanámi:

Þessi skrif eru frá því herrans ári 1899, en ég hef reyndar heyrt marga skólamenn lýsa þessu með nútímalegri hætti, til dæmis með því að líkja nemendum við ljósritunarvélar. En þessi ágæti pistill í Ísafold bendir reyndar á að gagnrýnin sé ekki ný af nálinni:

Árið 1899 hafði gagnrýni á fyrirlestraformið verið þekkt í að minnsta kosti tvær aldir. Og ástæðan var kennslubækur. Nú á dögum má sjá svipaða gagnrýni á þeim forsendum að nemendur ættu frekar að horfa á YouTube-myndskeið heima en að sitja undir fyrirlestrum í skóla. (Einu sinni voru svipaðar vonir bundnar við sjónvarp og myndbönd.) En öll þessi form eru meira og minna einstefna. Mér finnst kennslubækurnar reyndar skástar því við þær má glíma með blað og blýant í hendi. Textinn er þarna og krotið festist. Það er meiri yfirsýn heldur en þegar maður hlustar/horfir á eitthvað streyma áfram í tíma.

Vandamálið, eins og ég sé það, er að þessi form byggja á einstefnu, einræðu kennarans. Stundum er reynt að hleypa nemandanum aðeins inn í einræðuna. Fyrirlesarinn spyr út í sal eða einhver grípur hreinlega fram í. Kennslubókinni má fletta og hún býður upp á spurningar og svörin eru aftast, nemandinn getur spólað myndbönd fram og aftur. Að baki býr kenning um nám: að þekking geti færst inn í nemenda, að hann sé viðtakandi þekkingar. Þetta er stundum nefnt „transmission theory of learning“ og er hin hversdagslegi skilningur sem flestir leggja í það hvað felst í námi.

Ég held hinsvegar að allt raunverulegt nám fari fram gegnum einhverskonar samræðu. Hér þarf að skilja hugtakið samræðu nokkuð vítt. Maður á í samræðu við einstefnumiðla eins og bækur, þó að það sé vissulega „minni samræða“ en þegar maður raunverulega talar við manneskju. Eins og skólar eru í dag er sjaldgæft að nemendur hafi ekki tækifæri til að spyrja kennara og eiga í einhverri samræðu við hann til að reyna að komast nær merkingu námsefnisins. Sumum nemendum dugar þessi litla samræða, sérstaklega þeim sem hafa aðrar manneskjur til að tala við um efnið, eins og foreldra, systkini eða vini, og hafa auk þess aðgengi að öðrum „röddum“ – bíómyndum, dagblöðum, vefsíðum – og kannski mikilvægast: þeir líta á námsefnið sem (sam)ræðu. Með því á ég við að þeir vilja skilja, þeir túlka og gefa efninu merkingu, líta á það eins og lið í samræðu.

Samræða þýðir ekki að öll orð hafi jafnt vægi, að nemendur og kennarar geti bullað hvað sem er. Samræða þýðir að merkingin er stöðugt að verða til í töluðum orðum og athöfnum, að nauðsynlegt er að bregðast við því sem aðrir segja og líta til viðbragða annarra við því sem maður sjálfur segir. Í þessu felst að sá sem talar (til dæmis kennari) hefur ekki einkarétt á því að ákvarða hvað orð hans merkja. Þetta er mjög ólíkt „hefðbundnum“ kennsluháttum, þar sem kennarinn talar (& skrifar & vísar til kennslubóka) og verkefni nemandans er í besta falli að afkóða, að skilja hina sönnu merkingu orðanna, sem er fyrirfram gefin. Hans er ekki að spyrja, að túlka út frá sínum eigin forsendum eða menningarinnar (menningunum?). Merkingin á einfaldlega að færast inn í hann. Í staðinn færist bara formið, „tóm orð“, „páfagaukalærdómur“ án merkingar.

Róttæk kennslufræði

Ég var áðan með námsstofu í Róttæka sumarháskólanum sem nefndist Róttæk kennslufræði II (framhald frá því í fyrra). Ég vona að þeir sem mættu hafi farið út einhverju bættari og að þetta hafi ekki verið leiðinlegt. Allmargir mættu og úr mörgum ólíkum áttum. Ég er ekki viss um að ég sé nógu flinkur að „stjórna umræðum“. En ég ákvað reyndar, í þetta skipti, að vera með fyrirlestur – með innleggjum úr sal. Ég vildi reyna að koma á framfæri nokkrum fræðilegum hugtökum, sem hægt er að nota til að hugsa með, um skólakerfið. Það eru marxísk hugtök eins og skiptagildi, notagildi og firring, og „tákrænn auður“ frá Bourdieu. Ég lagði til að þáttakendur kynntu sér 2 „almennar“ greinar sem eru dæmigerðar fyrir opinbera umræðu um námskrár: hvaða efni á að kenna í skólum? (Í þessu tilviki: er nauðsynlegt að kenna algebru í skólum?) Auk þess benti ég á fræðilega grein, sem er reyndar töluvert erfiður lestur. En, eins og á við um öll réttnefnd fræði og vísindi, þá veitir hún innsýn og fer undir yfirborðið. Tenglar á greinarnar eru á síðunni minni um stærðfræði/menntun.

Af hverju fór Egill Helgason út af Batman myndinni í hléi?

Á Facebook tilkynnti Egill Helgason:

Fórum út í hléi á Batman. Vissi að þetta var drasl – svo af hverju var ég að fara á myndina?

Í umræðuþræðinum kemur svo eitthvað fram um of mikið ofbeldi. Við þurfum náttúrlega ekki að horfa á ofbeldi í bíó þegar raunveruleikinn slær það allt út.

Fórum út í hléi á kapítalisma. Vissi að þetta var drasl – svo af hverju var ég að fara á þetta?

Ég fór hins vegar ekki út af myndinni í hléi, mér er nær að taka undir með Slavoj frænda sem segir:

The Dark Knight Rises attests yet again to how Hollywood blockbusters are precise indicators of the ideological predicament of our societies.

Hnausþykkt og sætt hugmyndafræðilegt hunang myndi ég segja. Svo var gaman að sjá kjarnorkusprengju springa. Ég er sjúkur í kvikmyndir þar sem kjarnorkusprengja springur.

En ég er líka sjúkur í menningarmarxíska umfjöllun. Þetta þrennt hef ég lesið, auk Zizeks:

The Dark Knight Rises: Dubious and distortive

Endless Mutation: Reboots and Sequels

Batman’s political right turn

En ég hafði fyrst og fremst gaman af ofbeldinu.

Róttæk kennslufræði II

Ég verð með námsstofu í Róttæka sumarháskólanum 13. ágúst frá kl. 17 til 18.45 sem nefnist Róttæk kennslufræði II. Þangað eru allir velkomnir, hvort sem þeir mættu í fyrra á námsstofuna um róttæka kennslufræði eða ekki.

Í ár fer ég fram á heimanám. Nemendur mæti undirbúnir í tíma!

Verkefnið er að lesa tvær almennar blaðagreinar og eina fræðilega grein:

Greinin “Is Algebra Necessary?” í New York Times eftir Andrew Hacker [Á að vera opin og aðgengileg – gúglið titilinn og finnið aðra leið til að lesa ef þið lendið í vandræðum með vafrann.]

Greinin “Yes, algebra is necessary” á bloggi eftir Daniel T. Willingham

Fræðigrein: Williams, J. (2012). Use and exchange value in mathematics education: Contemporary CHAT meets bourdieu’s sociology. Educational Studies in Mathematics, 80(1-2), 57-72. [Er opin og aðgengileg fyrir tölvur með íslenskar IP-tölur (Landsaðgangur)]

Margt sem talað er um í þessum textum má yfirfæra á aðrar námsgreinar. Í þeim kristallast togstreita milli ólíkra sjónarmiða um það hver tilgangur menntakerfis sé og/eða eigi að vera, og hver um það hver virkni þess er í raun og veru. Spurningar til að hafa í huga og mynda sér skoðun á:

  • Til hvers er menntakerfið? Hvaða hagsmunum þjónar það?
  • Á eitthvað að vera „skyldunám“? Hvað eða hver á að ákvarða það?
  • Hvað myndi gerast ef allir nemendur á öllum skólastigjum fengju 10 á öllum lokaprófum næsta vor?

Það væri líka gott að kynna sér eða rifja upp hvað gerðist í fyrra með því að renna yfir þetta samantektarskjal mitt.