Hvað er fall?

Þegar ég var í 9. bekk (lokaár grunnskóla á þeim tíma…) komu einhverju sinni kennaranemar í heimsókn og lögðu fyrir okkur könnun. Könnunin gekk út á að svara því hvað „fall“ væri. Ég man ekki hvernig var spurt, en ég man þetta sem gerst hafi í gær vegna þess að ég hafði bara ekki eina einustu hugmynd. Þetta orð var aldrei notað í námsefninu.

Í fræðigreininni stærðfræði er gengið út frá skilgreiningu sem er bæði skýr og tæmandi, og er fáguð afurð langrar þróunar. En hún er abstrakt og í vissum skilningi segir hún ekki neitt, það er að segja hún virkar fullkomlega til að svara spurningunni „er þessi hlutur fall?“ en hún sýnir manni ekki hvernig föll „verða til“ eða hvernig maður ætti að finna dæmi um þau. Að vísu eru til útvíkkanir á hugtakinu og aðrar enn nútímalegri skilgreiningar, en eftirfarandi er „standard“ nútímaútgáfa (stundum nefnd skilgreining Dirichlet/Bourbaki) og hún komst á þetta form á 19. öld:

Fall f frá A til B er hlutmengi faldmengisins A × B þannig að fyrir sérhvert stak a úr A er nákvæmlega eitt stak b úr B þannig að (a, b) er stak í f. Í stað þess að skrifa „(ab) er stak í f“ skrifum við f(a) = b.

(Til þess að skilja þessa skilgreiningu þarf maður að geta notað hugtök eins og hlutmengi, faldmengi og stak og nokkur tákn. Þetta eru mjög einföld hugtök og þess má geta að faldmengið A × B er bara mengi af tvenndum (a,b) þar sem a er í menginu A og b er í menginu B.)

Þrjár framsetningar á frekar abstrakt óspennandi falli

Þessi skilgreining er nógu skýr til að hægt sé að nota hana til að sanna fullyrðingar um föll auk þess sem þeir hlutir sem „ættu að vera“ föll, eru föll. Með því á ég við að föll voru notuð löngu áður en þessi skilgreining var búin til. Sum fyrirbæri sem þá gátu flokkast sem föll, eru það reyndar ekki í dag en hins vegar eru til fjölmörg föll í dag sem gömlu spekingunum hefði aldrei dottið í hug að kalla föll.

Uppruni fallahugtaksins er rakinn til rannsókna Galileo Galilei (1564-1642) á hreyfingum hluta og næstu árhundruð þróaðist hugtakið einkum í glímu vísindamanna og stærðfræðinga við að lýsa hreyfingum og hraða (himintungla, strengja, og fleiri hluta) og svo síðar fyrirbærum eins og hitaleiðni hluta.

Þau föll sem vísindamenn notuðu framan af voru yfirleitt samfelld og diffranleg (nema ef til vill í endanlega mörgum punktum) og hægt að rita „sem formúlu“ (eins og f(x)=2x+5) og þau höfðu ferla sem hægt var að teikna. Hugmyndin var að ein stærð væri háð annarri, og menn skoðuðu hvernig breyting á óháðri stærð olli breytingu á háðri stærð.

Samkvæmt nútíma skilgreiningu er þetta ekki rétt. Föll þurfa alls ekki að hafa formúlu, þau geta verið ósamfelld og ódiffranleg og óteiknanleg og algerlega brjálæðisleg, svona miðað við klassísku hugmyndina. Þetta veldur nemendum oft töluverðum ruglingi, svona þegar ofar dregur í skólakerfinu – aðallega vegna þess að þeir telja sig geta rökstutt fullyrðingar um föll út frá hugmyndum sínum („í anda gömlu meistaranna“) í stað þess að nota skilgreininguna. Því það er hún sem ræður. (Kannski ætti hún ekki að ráða – fyrr en nemandi er kominn eitthvað lengra (við erum þá að tala um amk. annað ár í háskóla)).

Hér hefur aðeins verið fjallað um fall sem hluta af fræðigreininni stærðfræði, en merking hugtaksins er samt ekki eign hennar, því það er notað í mörgum fræðum og hefur merkingarmöguleika utan hennar sem mikilvægt er að nemendur í skólum kynnist. [Líklega má segja að þeir möguleikar falli alltaf undir fræðilega hugtakið – það er svo abstrakt að það inniheldur þetta allt sem möguleika, og fleira til.]

Stefni að því að skrifa um merkingarlandslag fallahugtaksins næst.

Mannréttindi fólks af röngum uppruna

Hatur, ótti og fyrirlitning á útlendingum eru þrástef í okkar menningu og kannski víðast hvar. Hér gæti verið rétt að gera nánari grein fyrir því hvað „útlendingur“ þýðir í þessu samhengi. Til dæmis telst hvítt millistéttarfólk yfirleitt ekki til þessa hóps, svo ekki sé talað um kvikmyndastjörnur. En þetta getur verið dálítið breytilegt. Í dag eru hinir ógnandi útlendingar aðallega brúnt fólk frá fátækum löndum. Rætt er um slíkt fólk á þann hátt að ljóst er að það er í raun ekki talið til manna, það er ekki talið sjálfsagt að það njóti mannréttinda. Það er einfaldlega gengið út frá því að það eigi ekki að hafa frelsi til að ferðast, setjast að og vinna hér á landi.

Við lesum um þessa útlendinga í leiðurum íhaldsblaða og heyrum um þau úr munnum stjórnmálamanna, en líka á kaffistofum og heimilum. Áróður í fjölmiðlum virkar ekki nema að hann eigi sér hljómgrunn. Heimamenn eru tilbúnir að trúa alls konar vitleysu upp á þessa útlendinga og alhæfa út frá fréttum um einstök atvik og flökkusögur verða að staðreyndum. Á móti kemur að glæpir og einkennilegt háttalag heimamanna eru útskýrð sem undantekningar. [Nema að heimamaðurinn tilheyri einhverjum undirskipuðum hópi, þá er þetta skýrt út frá eiginleikum hópsins, til dæmis femínistar, atvinnulausir, latte-lepjarar osfr.] Engum dettur í hug að vara við hvítum kristnum millistéttarkarlmönnum þó svo að þeir séu yfirgnæfandi fjöldi í hópi fjöldamorðinga í ríku löndunum. Og þá er ég ekkert að tala um stríðsgleði þeirra og tilhneigingu til að drepa fólk með sprengjum úr flugvélum. Þessi ótti/fyrirlitning hefur verið rannsökuð út frá mörgum sjónarhornum, cognitive-sálfræðilegu, marxísku, þjóðfræðilegu og fleirum og allnokkrar kenningar til. Ég fer ekki nánar út í það hér, verð bara á léttu nótunum.

Árið 1998 birti Davíð Oddsson í Morgunblaðinu afar smekklausan „jólasálm“, sem ég birti með örlitlum breytingum í bókinni Handsprengja í morgunsárið. Ég gerði það aðallega til að sýna botnlausa hræsni þessa manns. Hugsið ykkur bara: annars vegar að yrkja „jólasálm“ og fá hann meira að segja fluttan í ríkisútvarpinu og hins vegar að gefa samþykki sitt fyrir hönd þjóðarinnar á innrás og stríði sem hefur kostað hundruð þúsunda mannslífa. Hér að ofan getur að líta skjáskot af sálminum, með nótum, úr opnu Morgunblaðsins 24. desember 1998 (opið á timarit.is).

En tilefni þessa pistils (loksins!) er auðvitað leiðari Morgunblaðsins frá því í gær, þar sem flóttamenn eru hrakyrtir, Ísraelsríki er hampað, og varað við íslamistum. Ég sá á Facebook að Hjálmtýr Heiðdal hafði bent á hliðstæðu – í Morgunblaðinu 7. apríl 1938. Efnislega er merkingin svipuð og í Morgunblaðinu 25. júlí 2012.

Hvernig orð sem þessi fara saman við kærleiksboðskap eins og þann sem menn lesa úr sögunni um Jesú Krist skil ég ekki. „Hefði ég ekki kærleika væri ég ekki neitt“ eins og þar stendur. Hvernig þau samrýmast hugmyndinni um mannréttindi skil ég ekki heldur. En reynslan sýnir, jafnt sem rannsóknir, að maður er ekki eitt heldur margt. Hræsnin er erfið að  uppræta. Allt í lagi að reyna samt.

Ég er ekki jafnréttissinni

Hugtakið jafnrétti er oft notað um þá ágætu reglu að allir skuli jafnir fyrir lögum. Líklega nær það svo einnig yfir stofnanir samfélagsins. Þannig á fólk að hafa jafnan rétt til náms í skólum, jafnan rétt til aðhlynningar á sjúkrahúsum, fá jafn mikið borgað fyrir sömu vinnu og þess háttar. Nánast enginn er tilbúinn til að segjast vera á móti þessu í sjálfu sér. Þegar til kastanna kemur er það ekki alltaf svo einfalt. Til dæmis er algengt að heyra að atvinnulausir, útlendingar og fólk með ýmsar fatlanir eigi ekki að hafa alveg sama rétt til sumra hluta.

En jafn-rétti þýðir líka þetta: allir eru jafnir sem keppendur um völd, auð og virðingu innan kerfis þar sem fólk hefur mjög misjöfn völd, auð, virðingu, þekkingu, og svo framvegis. Sjaldan er spurt spurninga á borð við:

  • hvaðan eru keppnisreglurnar?
  • hverjir njóta þess að eru þær einmitt svona?
  • af hverju ætti fólk yfirhöfuð að hafa misjöfn völd, auð og virðingu?

Eitt dæmi er skólakerfi. Eiga allir að hafa sama rétt til náms? Hvað þýðir það? Að nemendur keppi innbyrðis um eftirsótta skóla? Hér er mikilvægt að í jafnrétti er ekkert hugsað um það hvort nemendur séu í ólíkri stöðu til að stunda keppnina. Sumir nemendur eiga fátæka foreldra, aðrir ríka. Sumir nemendur eiga foreldra sem „kunna“ á menntakerfið og vita hvers konar hegðun og þekking kemur sér vel innan þess fyrir barnið. Sumir nemendur neyðast til að vinna með skóla, sumir nemendur lenda í skólum og bekkjum með metnaðarlausum kennurum og/eða samnemendum. Svo er frammistaða nemenda á prófum notuð til að veita sumum aðgang að eftirsóttu námi en ekki öðrum. Því allir nemendur hafa jafnan rétt samkvæmt hefðbundnum skilningi.

Hugtakið jafnrétti virkar þannig oft á vissan hátt til að breiða yfir ranglæti og ójöfnuð. Þeir hópar sem eru í sterkri stöðu fyrirfram viðhalda henni með því að „leikreglurnar“ henta þeim best.

Sem hópur eru konur undirskipaðar körlum. Þetta á við alls staðar, en í mismiklum mæli um allan heim. Í sumum löndum, eins og á Íslandi, ríkir eigi að síður lagalegt jafnrétti. Konur mega líka verða stórlaxar og sækja sér völd og virðingu. En þær verða að keppa á forsendum ríkjandi valdahóps, karla. Þær verða að berjast við viðteknar hugmyndir menningar okkar um kynin, það lendir á þeim að ganga með og fæða börnin, og þær eru í mun meira mæli áreittar og beittar kynferðislegu ofbeldi en karlar. Og þá er ég varla byrjaður á þeim langa lista af hlutum sem halda konum undirskipuðum sem hópi hér á landi, í dag. Þegar þær orða eitthvað um þessa hluti opinberlega fá þær yfir sig:

  • dembur af viðbjóði og lítt dulbúnum hótunum og fyrirlitningartali sem beinist gegn þeim sem konum
  • pistlum gáfumenna sem telja kvartið leiðinlegt, andlaust og kæfandi, ef ekki særandi fyrir alla góðu karlana eins og þá
  • „hrútskýringar“ á þá leið að þetta sé allt í hausnum á þeim og misskilningur
  • lærðar áhyggjur af öfgum sem séu að færa þær á ranga braut sem muni enda með blóðugu ofbeldi.

Mín afstaða er: þetta kynjakerfi og karlræði þarf að rífa upp með rótum. Konur og karlar eiga að vera jöfn og samfélagið á ekki að vera sniðið þannig að það henti körlum frekar en konum. Ég ætla að nota orð Schoolmaster Naxalite frá í gær á Facebook-þræði:

Ég á í engum vandræðum með að segja „já ég er femínisti“ en ég hef nokkrar efasemdir um jafnrétti.

(Gott er að geta gert orð annarra að sínum, við erum alltaf að því, það er kannski það sem nám er í raun og veru. En yfirleitt aðlögum við orð annarra fyrir eigin þarfir og út frá eigin reynslu. Ég hef efasemdir um að ég geti kallað mig femínista því að þó að sú barátta snúist um betri heim fyrir alla, konur og karla, þá er femínismi kvennabarátta, og ég er bara ekki insider í því.)

Tími tilkominn að tengja

Gagnstætt því sem margir halda er Internetið mikil dásemd. Mikilfenglegra en orð fá lýst. Ég mun hella úr kaffibollanum yfir næsta mann sem segir í kaldhæðnu gríni að hann þoli ekki netið, það sé bóla, tímaþjófur, eða dregur með nokkrum hætti úr jákvæðum áhrifum þess á lífið.

Eitt af því sem netið hefur gefið mér, er aðgangur að þekkingu, innblæstri og tengingu við hugsun annnara um stærðfræðimenntun, nám og kennslu. Ef ég hefði ekki haft internetið, ég veit ekki hvað ég hefði getað gert – væri sjálfsagt löngu hættur að spá í kennslu og farinn að forrita einhverjar auglýsingar eða hirða um geitur. Ela! Ela! myndi ég kalla. Hér er eitt uppáhald mitt í dag. Kannski skrifa ég um og tengi á önnur uppáhöld síðar.

Dan Meyer – hann er með mikið af frumlegu og góðu kennsluefni, auk pælinga um menntun og menntakerfi. Skapar og tekur þátt í „opinberri umræðu framsækinna stærðfræðikennara í Bandaríkjunum“ svo ég búi til hugtak. Ein af hugmyndum hans er „stærðfræði í þremur þáttum“ (sjá opið verkefnasafn).

Stærðfræði í þremur þáttum nýtir sér sígilda byggingu frásagna:

  1. Kynntu megintogstreitu sögunnar/verkefnisins á skýran, sjónrænan, lifandi hátt, með eins fáum orðum og mögulegt er.
  2. Aðalpersónan/nemandinn sigrast á hindrunum, nýtir sér bjargir og þróar ný tól og nýja getu.
  3. Leyst er úr togstreitunni og gert tilbúið fyrir næstu sögu/bindi/sequel…

Hér er fyrsti þáttur eins verkefnis:

Hvað á Fry í bankanum í dag?

Skoðið svo alla þrjá þættina í heild sinni hér.

Til hvers eru ræðar tölur? (framhald af síðasta pósti)

Einu sinni var ég spurður „til hvers eru ræðar tölur?“ Hópur nemenda (á háskólastigi) hafði verið að læra um ræðar og óræðar tölur (en ekki hjá mér), og ég hafði boðið nemendum að spyrja að einhverju um stærðfræði – hverju sem er.

Ég túlkaði spurninguna þannig, að einhverjir nemenda hefðu ekki séð mikla merkingu eða tilgang í þeirri stærðfræði sem fjallar um muninn á ræðum og óræðum tölum. Ræðar tölur eru allar þær tölur sem skrifa má sem almennt brot tveggja heiltalna. Til dæmis eru \frac{1}{2} og \frac{3}{4} ræðar tölur, og líka allar heilar tölur, til dæmis 5, vegna þess að til dæmis 5=\frac{5}{1}. Þær tölur sem ekki eru ræðar kallast óræðar. Að óathuguðu máli virðist ekkert benda til annars en að allar tölur séu ræðar tölur. Enda töldu grískir spekingar í fornöld að svo hlyti að vera – þangað til annað kom í ljós. (Og „sagan segir“ að uppgötvarinn hafi verið tekinn af lífi í refsingarskyni.)

Nú kemur ein spurning sem ég lét nemendur mína í framhaldsskóla fá til að svara heima:

Reiknið  \frac{665857}{470832} á reiknivél. Getur verið að  \frac{665857}{470832}=\sqrt{2}?

Lesendur geta slegið þetta inn í reiknivél eða bara google, og borið saman hvað tölvan segir um  \frac{665857}{470832} og \sqrt{2}.

Staðreyndin er að til eru ræðar tölur sem hafa sömu tölustafi og \sqrt{2} í fyrstu trilljón sætunum og reyndar miklu fleiri, eins mörgum og maður vill, og fleiri en hægt væri að geyma á öllum hörðum diskum veraldar.

Mig langar að reyna að halda þræði frá síðustu færslu: Ef ég deili mælieiningunni (1) í b jafna búta (þetta orðalag þýðir að ég tákna fjölda bútanna með bókstafnum b) verður lengd hvers og eins bútar \frac{1}{b}. Ef ég legg svo saman a slíka búta fæ ég lengdina a \cdot \frac{1}{b}=\frac{a}{b}. Svo ef lengdirnar 1 og \sqrt{2} eru sammælanlegar er til ræð tala \frac{a}{b} þannig að \frac{a}{b}=\sqrt{2}.

Hugsum okkur að \sqrt{2}=\frac{a}{b} þar sem a og b eru heilar tölur (og b er ekki 0) og að brotið sé fullstytt.

  • Með því að hefja báðar hliðar jöfnunnar í annað veldi fæst jafnan 2=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
  • Margföldun beggja hliða jöfnunnar með b^{2} gefur að 2 \cdot b^{2}=a^2.
  • Það sýnir að a^2 er jöfn (= slétt) tala (vegna þess að í vinstri hlið jöfnunnar er einhver stærð margfölduð með 2.)
  • Þar með er ljóst að a er líka jöfn tala því ef hún væri oddatala væri a^2 líka oddatala (oddatala margfölduð með sjálfri sér er áfram oddatala)
  • Fyrst a er jöfn tala, má rita a=2c þar sem c er einhver heil tala. (Jöfn tala þýðir nákvæmlega þetta: hún er einhver tala sinnum 2).
  • Því er 2b^2=a^2=(2c)^2=4c^2, og ef við deilum með 2 báðu megin jafnaðarmerkisins fæst jafnan b^2=2c^2. En það sýnir að b er líka jöfn tala.
  • Niðurstaðan af þessu er: bæði a og b eru jafnar tölur og hafa því sameiginlega þáttinn 2.
  • Það er mótsögn við þá forsendu að brotið væri fullstytt. Svo \sqrt{2} er þá ekki ræð tala.

Nú skrifaði ég efnisgreinina hér að ofan eins og mér hefði bara dottið þetta í hug. En ég var að endurnýta röksemdafærslu sem ég hef oft séð, fara með hana með mínum eigin orðum. Hún er mjög svipuð þeirri sem stendur í Málsvörn stærðfræðings eftir Godfrey Hardy (til í íslenskri þýðingu Reynis Axelssonar). Eftir að ég afritaði sönnunina úr öðru eldra skjali og lagaði til, fór ég og fletti henni upp. En til eru miklu eldri sannanir. Ég eyddi allnokkrum tíma í að leita uppi heimildir til að staðfesta það sem ég hélt – að sönnunin hér að ofan væri ættuð úr Frumþáttum Evklíðs (frá um 300 fyrir Krist). Það reyndist rangt, eins og flest sem maður heldur um söguleg efni, tilvitnanir í fræga menn og þess háttar.

„Sagan segir“ að uppgötvun óræðra talna hafi verið mikið áfall fyrir heimsmynd hinna forn-grísku spekinga sem höfðu áður talið að alla hluti heimsins mætti mæla með sama mælikvarða. Minnst er á ósammælanleika stærða í samræðu Platóns, Þeætetus (sem er eldri en Frumþættir Evklíðs).

Einhverjir lesendur hafa sjálfsagt átt erfitt með að lesa þessa röksemdafærslu vegna þess að þeir eru óvanir þessum rökfærslustíl, þessari tegund af orðræðu sem tilheyrir stærðfræðilegum sönnunum. Kannski hafa margir sleppt því að lesa hana.

Eitt og annað í þessu krefst umhugsunar auk skilnings á því hvernig tákn og tungumál er notað. Það er mögulegt að útskýra meira og í meiri smáatriðum. Til dæmis: hvers vegna er öruggt að oddatala margfölduð með sjálfri sér verði oddatala? „Trikkið“ er að nota sér nákvæmlega hvað oddatala er: tala sem er einum hærri (eða lægri) en einhver slétt tala. Hana má því skrifa á forminu 2 \cdot n+1 þar sem n er einhver hel tala (til dæmis er 37=2 \cdot 18+1. Margföldum töluna með sjálfri sér:

(2n+1) \cdot (2n+1)=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1.

Útkoman er 2 sinnum einhver tala plús einn – það er oddatala.

Ég hef nú sett fram eina sönnun á því að \sqrt{2} er ekki ræð tala (til eru margar aðrar sannanir, hér eru 19). Það þýðir að til eru ósammælanlegar lengdir. Rifjum upp að þessi staðreynd hefur engar afleiðingar fyrir mælingar á raunverulegum hlutum – það er hægt að mæla lengdir með nógu mikilli nákvæmni til allra nota. Raunverulegar lengdir eru ekki mældar nákvæmlega, því enginn „óendanlega nákvæmur“ mælikvarði er til.

Mér sýnist tvennt gera þetta efni „óskiljanlegt“ – fyrir utan tæknilega erfiðleika við að fylgja rökstuðningnum:

  • Ríkjandi orðræður um skólanám fela í sér að námið eigi að vera hagnýtt fyrir einstaklinga og samfélag. Stundum er talað um að námið eigi að nýtast beint við störf (samkeppnishæft vinnuafl) eða í einhverjum praktískum verkefnum sem fólk fæst við í lífinu eða verðmætasköpun.
  • Ríkjandi orðræður um veruleikann, bæði samkvæmt „almennri skynsemi“ og raunvísindum fela í sér „nálgunarstærðfræði“ – gert er ráð fyrir því að mælingar séu „nógu góðar nálganir“ (sjá síðustu færslu). Í þeirri stærðfræði skiptir engu máli hvort hægt sé að skrifa ferningsrótina af 2 sem almennt brot eða ekki, fyrst það er hægt að skrifa og nota 10 eða 10.000 rétta aukastafi.

Tilvist óræðra talna er mögnuð og óvænt staðreynd um veruleikann eða hugsun okkar um veruleikann (eftir því hvaða skoðun við höfum á því í hvaða skilningi tölur eru til). Hún er gersamlega óhrekjanleg afleiðing af því hvernig við tölum um lengdir, tölur og flatarmál. En hún hefur engar beinar praktískar afleiðingar. (Annað mál er að óræðar tölur (í samhengi við talnakerfi yfirleitt) skipta miklu máli fyrir stærðfræði, þar með talið kenningar sem liggja til grundvallar mörgum öðrum vísindum og aðferðum sem beitt er þar). Ef hugmyndin er að kynna nemendur fyrir „mestu andlegu afrekum mannkyns“ eða „dýpstu þekktu staðreyndunum um heiminn“, eða bara stærðfræði, er góðra gjalda vert að hafa þetta í námskrá. Hitt er svo annað mál hvernig nemendur eiga að nálgast efnið – það að kynna það, svipað og hér var gert, er ekki endilega vænlegt til árangurs.

Til hvers að læra þetta?

Ein af elstu fræðilegu niðurstöðum stærðfræðinnar er að til séu ósammælanlegar stærðir. Þessi uppgötvun er oft eignuð Pýþagórasi og hún er að minnsta kosti tvö þúsund og fimm hundruð ára gömul. Hvað á ég við með ósammælanlegar stærðir? Það sem átt er við með því er að ef ég get mælt eina stærðina sem heilan fjölda einhverrar mælieiningar, þá er ekki hægt að mæla hina stærðina með heilum fjölda sömu mælieiningar. Til dæmis: ef ég get mælt eina stærðina (A) í heilum sentímetrum, þá gæti ég ekki mælt hina (B) í heilum sentímetrum. En hér kemur magnaðasti punkturinn: það breytir engu þó að maður skipti mælieiningunni upp. Til dæmis: ef maður getur mælt A í heilum fjölda sentímetra, þá getur maður líka mælt í heilum fjölda millímetra, míkrómetra, nanómetra, og svo framvegis. En það er alveg sama hversu smáa mælieiningu maður velur – ef A og B eru ósammælanlegar er alls engin mælieining til sem gefur heila tölu í mælingu fyrir bæði A og B.

Brot úr handriti frá 888 á Frumþáttum Evklíðs, setning 10.7, um ósammælanlegar stærðir. Sjá hér

Eitt af því sem ef til vill kann að vera áhugavert að taka fram er að þetta hefur ekkert að gera með raunverulegar mælingar á áþreifanlegum hlutum eða rými, og er alls ekki tengt því að stundum mælum við í heilum sentímetrum og stundum „með kommum“. Niðurstaðan er algjörlega fræðileg og tengist uppbyggingu efnisheimsins ekki neitt – nema ef til vill að því leyti að hún útilokar að til sé mælikvarði sem gefur sérhverju línustriki vel skilgreinda lengd í formi heillar tölu (eða almenns brots: ef hægt er að mæla lengd sem almennt brot, eins og 1/1000, gætum við einfaldlega minnkað mælieininguna, gert hana þúsund sinnum minni.)

Þegar við mælum raunverulega hluti, erum við aldrei að reyna að finna hina einu sönnu mælitölu. Þegar ég segist vera 188 cm á ég við (kannski án þess að „átta mig á því“) að ég sé nær því að vera 188 sentímetrar en að vera 187 eða 189 sentímetrar. Ég gæti líka átt við að ég væri nær því að vera 188,0 cm en að vera 187,9 cm eða 188,1 cm. Og svo framvegis. En það má yfirleitt alltaf finna minni („nákvæmari“) einingar, sterkari smásjár og svo framvegis. Stærðfræðilega niðurstaðan segir: engin mælieining er nokkurn tíma nógu lítil til að þú „hittir“ alveg nákvæmlega á endanlega tölu. Eðlisfræðin hefur svo aðrar skýringar og hugtök til að fjalla um svona mál.

Það sem er áhugaverðast fyrir mig við þessa fræðilegu staðreynd er að hana má sanna. Út  frá að því er virðist augljósum forsendum um eðli rúms og mælinga fáum við niðurstöðu sem er eiginlega andstæð almennri skynsemi. Og nú skoðum við þetta (loksins!):

Hugsum okkur að við höfum einingu, strik sem hefur lengdina 1. Við teiknum ferning með hliðarlengdina 1. Flatarmál þessa fernings er 1.

Teiknum hornalínu í þessum ferningi. Hún skiptir ferningnum í tvo jafnstóra þríhyrninga. En hver er lengd hornalínunnar? Til þess að átta okkur á því, framlengjum við hliðar ferningsins, og teiknum hornalínur, eins og á þessari mynd:

Spurning: Hver er lengd rauðu línustrikanna, sem eru hornalínur fernings sem hefur hliðarlengdina 1?

Ef til vill dettur einhverjum í hug að nota reglu Pýþagórasar. Í þessu tilfelli viljum við ekki gera það, vegna þess að það er flóknara að sýna fram á að sú regla sé sönn en að sanna okkar niðurstöðu hér. Lykilatriðið hér er að beina athyglinni að flatarmálum. Hvert er flatarmál rauða ferningsins samanborið við upphaflega ferninginn?

Engin þörf er á að reikna neitt, aðeins beina athyglinni í vissa átt. Það má lýsa því í orðum en ég held að þeir sem horfa á myndina í svolitla stund geti þá séð og útskýrt að rauði ferningurinn er nákvæmlega tvöfaldur að umfangi, eða með öðrum orðum, þá er flatarmál hans 2. Ef við gefum okkur nú að við vitum að reikna má flatarmál fernings með því að margfalda hliðarlendirnar saman komumst við að þeirri niðurstöðu að ef við margföldum lengd hornalínustriks með sjálfri sér, fáum við 2. Á nútímatáknmáli: ef lengd línustriksins er x   vitum við að x·x = 2. Þetta þýðir, einnig á nútímatákmáli, að x er ferningsrótin af 2, oft táknað  x = \sqrt{2} .


Það sem kemur svo í ljós í framhaldinu er að þessi „stærð“ er ósammælanleg við lengd upphaflega ferningsins, það er, tölurnar 1 og ferningsrótin af 2 eru ósammælanlegar.

Megininntak þessa texta er einungis að sýna fram á að ef hugtökin lengd og flatarmál hafa þá merkingu sem við leggjum í þau orð hversdagslega þá er til tala x sem um gildir að x·x = 2. Venja er að kalla þá tölu „ferningsrótina af tveimur“ eða „kvaðratrótina af tveimur“, einmitt vegna þess að hún mælir hliðarlengd fernings með flatarmálið 2. Nútíma lesanda þykir ef til vill augljóst að slík tala sé til, við erum svo vön því að tala þannig. En tilvist hennar hefur einmitt þá óvæntu röklegu afleiðingu að við getum fullyrt um tilvist ósammælanlegra stærða. (Sem með öðru orðalagi þýðir að til eru óræðar tölur.)

En ég hef ennþá ekkert rökstutt þetta, og ég læt það bíða næstu færslu, ásamt frekari pælingum um það hvað þetta þýðir: í skilningi stærðfræðinnar, fyrir skóla, námskrár og samfélag…

Hvers vegna má ekki deila með núlli?

Ég hef notað spurninguna „hvers vegna má ekki deila með núlli?“ til þess að hrista upp í bæði nemendum mínum í framhaldsskóla og stærðfræðikennurum. Ég hef með þessu reynt að fá þá til þess að hugsa dýpra um „reikniaðgerðina“ deilingu og tengsl þessa stærðfræðilega hugtaks við svonefndan raunveruleika.

Notkun mín felst oftast í því að standa fyrir framan hóp og spyrja beint út með þessum orðum: „hvers vegna má ekki deila með núlli?“ en stundum spyr ég frekar eitthvað eins og „hvað er einn deilt með núll?“ og/eða ég skrifa á töflu tákn eins og 1/0 eða 2/0. Ég vænti þess að fá umræðu þar sem fram koma tilraunir til að túlka þessi tákn og orð á vissan hátt (og ég mun segja frá hér neðar.)

Ég spyr þessara spurninga af nokkrum ástæðum, spurningin er viðbrögð mín við því sem ég skynja sem takmarkaðan skilning fólks á deilingu (og/eða almennum brotum og/eða ræðum tölum, eftir því hvaða sjónarhorn maður vill nota). Ég nota hér „takmarkaðan skilning“ bæði til að segja að fólk á það til að lenda í vandræðum í sinni eigin notkun á deilingu. Sum eða kannski flest þessara vandræða eru eingöngu vegna þess að fólk þarf að ganga í skóla, þetta eru eingöngu vandræði við að vinna skólaverkefni með þeim hætti að kennarar og prófdómarar sýni viðunandi viðbrögð og gefi viðunandi einkunnir. En það getur nú samt verið mjög gagnlegt að geta túlkað deilingu með ríkum hætti og áttað sig á tengslum stærðfræðihugtaksins og þeirra aðstæðna og samskipta sem það nýtist í.

Flestir reyna að útskýra deilingu með hliðstæðu og dæmum: það að deila sex hlutum milli þriggja aðila þýðir að hver aðili fær tvo hluti. Aðstæður og verkefni sem þetta er hluti af daglegu lífi, og flestir eru fullfærir um að leysa þau. Flestir vita að þeir geta talað um „deilingu“ við þessar aðstæður, og jafnvel notað reiknivélar (deilingartákn) til að finna svar ef tölurnar eru stærri og ekki auðveldar í hugarreikningi. Sumir kunna líka pappírs-reikniaðferðir til að finna svar. Þessi „hliðstæðutúlkun“ (deiling a/b táknar hlut hvers og eins þegar fjöldanum a er skipt í b hluta) er ein tegund af notkunarmöguleika stærðfræðilega hugtaksins. En um þetta hugtak gildir eins og flest önnur í stærðfræði að „stærðfræðileg merking“ þess er á vissan hátt bæði rýrari og ríkari. Og það að hafa einungis eina (eða fáar) túlkanir á því á sínu valdi getur verið alvarleg hindrun í frekara námi.

Í stærðfræði má lýsa merkingu hugtaks með því að vísa í önnur hugtök sem gert er ráð fyrir að séu þekkt eða með því að lýsa því hvaða eiginleika það hefur, sem þýðir eitthvað eins og að ákveða hvaða reglur gilda um það. Deilingu má (meðal annars) lýsa á þennan hátt:

a/b = c þýðir það sama og b·c =

Í formlegum stærðfræðitexta þyrfti að gera nánari grein fyrir því hvaða mengi a, b og c tilheyra. Eru það endilega heilar tölur? Einnig þarf að taka fram að b má ekki vera núll, en það er af góðri ástæðu. Að því gefnu að við lögum þetta og gerum grein fyrir þessu mætti kalla þetta stærðfræðilega merkingu hugtaksins. Í henni er ekkert um jafna skiptingu eða það hvernig nota má deilingu til að tjá sig eða hugsa. Hins vegar verður mögulegt að nota deilingu með fjölbreyttum hætti til að gera miklu fleira en að skipta jafnt. En spurningin sem er eitt af efnisatriðum þessa pistils er ennþá: af hverju þarf að taka fram að b má ekki vera núll?

Flestir sem ég spyr og reyna að útskýra þetta tala um það hvað það myndi þýða að deila einhverjum fjölda í núll parta, eins og að skipta köku millri engra barna, og hvað fær þá hvert barn? Þetta er mjög áhugavert, vegna þess að í þessu tilviki er fólk, málnotendur að reyna að nota orð (í útvíkkuðum skilningi: orðalag, setningar, tal-aðferðir) um nýjar aðstæður – við tölum aldrei um að skipta á milli engra, það „vandamál“ kemur aldrei upp. Þetta er einmitt eitthvað sem við erum alvön að gera, að útvíkka málnotkun, nota orð á nýjan hátt, til að bregðast við nýjum aðstæðum. En í þessu tilviki, þar sem reynt er að finna aðstæður í raunveruleikanum sem geta átt við orðin (en ekki öfugt, sem er það sem við gerum venjulega), lendum við í vandræðum. Ég hef heyrt fólk komast að þeirri niðurstöðu að 2/0 = 0 (tvær kökur skipt milli engra, svo enginn fær neitt), eða að 2/0 = 2 (tvær kökur skipt milli engra, ekkert er tekið af svo kökurnar tvær standa eftir).

Þessar tvær túlkanir eru í samræmi við hversdagslega notkun á deilingu, yfirfærða á þessar fáránlegu aðstæður: 6/3 = 2 þýðir (meðal annars) bæði:

  • Ef sex hlutum er skipt jafnt milli þriggja manna fær hver þeirra tvo.
  • Ef sex hlutum er skipt í þriggja hluta hópa verða hóparnir tveir.

Listræn túlkun á deilingu með núlli

Sumir vísindalega sinnaðir viðmælendur reyna að skoða mögulegar túlkanir eins og að deila með minni og minni stærð. Ef við deilum með hálfum þá erum við að margfalda með tveimur og útkoman stækkar. Ef við deilum með einum hundraðasta þá erum við að margfalda með hundrað og svo framvegis. Svarið er því: óendanlegt. Þetta tal má formgera og á sinn stað í stærðfræðinni – til þess er notað hugtakið markgildi. Ekki er útilokað að eðlisfræðingar og aðrir vísindamenn noti deilingu með núlli til að túlka ferli eins og þetta, eða önnur. En þeir myndu líklega ekki nota slíkt orðalag beint í útgefnum greinum. En „deiling með núlli“ getur vissulega haft túlkun og samsvaranir við eitthvað sem gerist í einhverjum mælingum. En sú túlkun felst ekki í því að „útkoman sé tala“.

Fyrir þá sem vilja er eitt stærðfræðilegt svar svona:

Ef 2/0 = 0 þá er 0·0 = 2 sem er fáránlegt. Ef 2/0 = 2 þá er 0·2 = 2 sem er einnig fáránlegt. Og reyndar ef 2/0 er jafnt einhverri stærð, 2/0 = X, þá er 0·X = 2 sem er alltaf fáránlegt.

Þessi rökstuðningur heldur sig einfaldlega við hina stærðfræðilega skilgreiningu á deilingu, og lætur alla túlkun í raunveruleika eða tungumáli eiga sig.

Það sem ég vil sýna í þessum pistli er meðal annars hvernig merkingu tákna og orða verður alltaf að skilja í samhengi:

  • Þegar ég spyr: „af hverju má ekki deila með núlli?“ geri ég það sem viðbrögð við minni reynslu af því að kenna og tala um deilingu, með væntingum um að það hafi einhver áhrif. Inn í þessu er falið að mér er ekki endilega ljóst sjálfum við hverju ég er að bregðast eða hvaða áhrif ég vonast eftir eða sé fyrir. Ef til vill vantaði mig bara eitthvað til að tala um til að fylla upp í tímann, ef til vill finnst mér þetta áhugavert efni til að tala um sjálfur, og svo framvegis. Oftast er um margt í einu að ræða.
  • Þegar maður spyr: „hvað er 2/0“ verður maður að spyrja: Hvernig kom þetta tákn til, hver er að nota það til hvers? Er eðlisfræðingur að túlka mæliniðurstöður í samhengi við stærðfræðilegt líkan? Er kennari að spyrja nemendur? Er verið að nota 2/0 sem dæmi um eitthvað sem „ekki má“? Kom táknið upp í einhverju skrefi útreikninga á einhverju? Hver spyr? Hver á að svara? Hvernig upplifir sá sem á að svara spurninguna – hann spyr sig ef til vill: „hvers vegna er hann að spyrja mig að þessu?“
  • Tákn, orð og setningar hafa ekki merkingu, en það væri hægt að tala um að í þeim felist merkingarmætti (potential). Við notum þau og erum að vissu leyti bundin af venjum, hvernig orð eru venjulega notuð í okkar menningu við ólíkar aðstæður, en við beitum þeim stöðugt við nýjar aðstæður til nýrra verka, við erum stöðugt að skapa merkingu orðanna sem við notum.
  • Hér hefur ekki reynst rými til að skrifa um svipbrigði, handahreyfingar, ólíka miðla, teikningar, og alla þá hluti sem við notum samhliða orðum og táknum til samskipta og skilnings.

(Pistillinn er meðal annars byggður á kenningum Per Linell um „dialogisma“, sem byggir á hugmyndum Wittgenstein, Bakhtin og fleirum. Hann er líka öðrum þræði viðbragð við texta, ætlaðan grunnskólanemendum, eftir Ragnar Þór Pétursson (maurildi) sem nú virðist horfinn.)

Internetið er ekki til

Þegar ég var yngri var internetið ekki það sem það er núna. Þess vegna er fyndið að deila um það hver fann upp internetið. Var það bandaríski herinn? Voru það bandarískir háskólar, styrktir af hernum? Var það Tim-Berners Lee? Mozilla, Google, eða Al Gore? Hvað með þá sem lögðu grunninn, Turing, Shannon og svo framvegis. Hvað er internetið? Eru það tölvurnar, hugbúnaðurinn, staðlarnir, kaplarnir, miðlarnir, notendurnir?

Mér finnst internetið ekki nógsamlega dásamað. Internetið er merkilegasta manngerða fyrirbærið síðan ég veit ekki hvað – kannski það merkilegasta síðan tungumál komu til sögunnar. Nei það er ekki hægt að mæla svoleiðis. Hvað með prentun, landbúnað, rafveitur, pípulagnir, flugvélar, geimskutlur, kjarnorku, bólusetningar, sýklalyf, handþvott, peninga, bankakerfi, öreindahraðla, hornafræði og siðferði? Svo eitthvað sé nefnt. Örfá fyrirbæri sem snerta líf okkar, sem við lifum í, eða miðla veruleikanum, eða já, miðla milli okkar og veruleikans.

Þetta er til að minna okkur á hlutverk tækja (sem geta verið áþreifanleg, en líka í formi kerfa, aðferða, hugtaka, tákna). Allt sem við gerum er miðlað af tækjum, við gerum eiginlega aldrei neitt án einhverrar „milligöngu“. Og nú internetið með öllum sínum samskipta og táknunarleiðum. Þegar ég var ungur voru samskipti (opinber) eins og eftirfarandi ekki til:

Nú er internetið fullt af blómstrandi samskiptum þvers og kruss. Tjáningar- og samskiptamagn í umferð hefur margfaldast. Ungt fólk sem ekki er bundið af textaforminu er að láta til sín taka. Öll frábæru mynda og hreyfi-GIF-mynda bloggin, sjálfútgefin myndbönd á Youtube, og svo framvegis. Fyrir mig: rafræn fræðitímarit, gamlir sjónvarpsþættir og fótboltaleikir, tónlist. Magnið er auðvitað yfirþyrmandi, óhugsanlegt. En ó og æ það er ekki tilefni til að kvarta! Það er tilefni til að fagna! Jafnvel þótt hluti af efninu sé rusl og sumt andstyggilegt og skaðlegt, jafnvel hættulegt.

Um þessa mynd að ofan má margt segja. Í stað þess að endursegja og breyta og bæta ætla ég að nýta internetið og benda á umræðu hér, þar sem þessi túlkun kemur fram:

he’s saying the reason that women are allowed to not wear makeup is that they still look good to him.

Og má vera að þetta sé punktur sem drengurinn hugsaði ekki, eða fannst ekki hafa vægi, eða væri ósammála væri hann spurður. Samt virðist þetta liggja beint við sem túlkun. Þá er auðvitað spurningin: hvað svo? Ég veit ekki hvað svo, til dæmis hvort þessi tiltekni strákur hefur svarað, hugsað, endurskoðað, eða hvað – eða hvert framhaldið hefur verið (fyrir utan þráðinn sem ég benti á, og örfáa aðra). Ef til vill er þetta liður í aukinni vakningu ungs fólks um kynjakerfið, feðraveldið.

Merkingin er ekki mín heldur allra

Ég velti fyrir mér þessum vanda:

Að skrifa áður en ég er tilbúinn. Áður en ég veit hvað ég vil segja eða hvernig ég vil segja það.

Mörgum vex í augum að skrifa. Kannski er ekki rétt að segja „vex í augum“ vegna þess að það gefur í skyn að þetta fólk ofmeti erfiðleikana, það sé í raun ekki svo erfitt að skrifa. En það er erfitt ef manni finnst það erfitt.

Að skrifa áður en mér finnst ég tilbúinn – það er: ég ekki búinn að hugsa þetta eins vel og ég vildi. Nú vantar mig orðið vulnerable. Berskjaldaður, varnarlaus.

Ég var að lesa í bók eftir Taylor Talbot, Theorizing Language. Af hverju er ég að lesa hana? Vegna þess að það var vitnað í hana í annarri bók sem ég er að lesa, Rethinking Language, Mind, and World Dialogically, eftir Per Linell. Af hverju er ég að lesa þá bók? Vegna þess að hugtakaramminn sem þar er kynntur fellur vel að mínum hugmyndum um heiminn, tungumál og merkingu og gefur mér grunn til að standa á í rannsóknum á stærðfræðinámi.

Sú sýn eða ég ætti kannski að segja „sá texti“ tengist í mínum huga ýmsu öðru sem ég hef lesið og heyrt, textabrotum Wittgensteins, afrískri speki, marxisma, Bakhtin og fleiru. En ég get ekki beinlínis fullyrt um þessi mögulegu tengsl. Ef til vill mun einhver sérfræðingur segja nei nei nei, þetta er alls ekki það sem hann átti við. En þá er því að svara að ég trúi ekki á „það sem hann á við“. Ég, eins og aðrir, túlka texta og nýti til þess alla mína reynslu og þekkingu. Það er virk athöfn að túlka texta, ekki passíf viðtaka.

Ég var að hugsa um þessa hluti og þessi tengsl áðan. Eitt af því sem Talbot talar um, eins og ég skil hann, er að tungumál (eins og íslenska) eru ekki stöðug fyrirbæri og verður ekki lýst með „málfræði“. Nú grunar mig að ég sé ekki að segja nóg, en ég mig langar ekki að skrifa langar útskýringar. Til dæmis skilur fólk mætavel texta sem er í engu samræmi við setningargerðir og málfræðilýsingar sem eru í kennslubókum. Ég hef því miður litla þekkingu á málvísindum en ég geri ráð fyrir að í þeim sé löngu búið að henda þeirri hugmynd í ruslið að lifandi tungu sé hægt að lýsa með statískum strúktúr. Það þarf ekki annað en að skoða venjulegt talmál fólks til að sjá að fólk talar nær aldrei „málfræðilega rétt“. Talbot segist ganga mun lengra en meginstraums-málvísindi sem hann segir ennþá halda í hugmyndina um tungumál sem strúktúral fyrirbæri, þó að fólk geri allskonar „villur“.

Ég ætlaði áðan að prófa aðeins að skrifa texta án þess að vera tilbúinn og án þess að reyna að skrifa setningar eins og hefðbundið er. Spurningin er þá – hvað skilja lesendur, hvað fá þeir út úr textanum. Ef til vill fer hann í taugarnar á þeim. Af hverju skrifar hann ekki rétt uppbygðan texta? Heldur hann að þetta sé nýtt – las hann ekki Tómas Jónsson metsölubók eftir Guðberg svo við nefnum ekki Ulysses eftir Joyce? Textinn er of óljós, mig vantar nánari leiðbeiningar innan textans um það hvert höfundur er að fara.

Að vitna í Wittgenstein – ódýrt trix segja sumir. „The last refuge of the scoundrel.“ En ég hef frá fyrstu kynnum fallist á þessa skilgreiningu á merkingu: merking orðs felst í notkun þess í tungumálinu. (Wittgenstein segir að þetta eigi við um stóran hluta þeirra tilvika þegar við notum hugtakið „merking orðs“). Per Linell hefur svo skrifað um ‘dialogism’ og dialogical analysis, sem mér finnst vera nánari útfærsla og konkretisering á þessu – svo úr verður tæki til að greina samtöl og texta.

Samkvæmt þessu lít ég á merkingu sem aldrei-endanlega ákvarðaða (sem minnir á eitthvað sem Derrida er þekktur fyrir en ég hef aldrei getað skilið neitt eftir hann.) Hins vegar er merking heldur ekki algerlega óákvörðuð, hún þróast í samtali og texta. Fólk skilur hvert annað, oft smám saman, það stillir sig saman. Orð eru viðbrögð við einhverju (atburði, orðum), sem kallar á viðbrögð þess sem heyrir/les. Og svo framvegis. Merking orða er ekki fyrst hjá þeim sem talar sem svo færist inn í þann sem hlustar. Merkingin er sameiginleg smíð þeirra sem taka þátt í samtali. Spurning rannsakandans er ekki: hvað á hann við heldur hver er merkingin innan samræðunnar – sem ræðst af viðbrögðum hinna. Hvað gera þeir og segja í framhaldinu?

Ég tengi þetta einnig við Ubuntu-speki sem er afrísk speki, en mér skilst að hún sé ekki ýkja gömul. Helstu einkunnarorð hennar eru eitthvað á þessa leið:

Ég er vegna þess að við erum. (Eða: ég er sá sem ég er, vegna þess hver við öll erum.)

Þessu hefur verið stillt upp sem einskonar andstæðu gömlu orða Descartes: ég hugsa, þess vegna er ég. Ég held að ég sé ekki sá fyrsti sem túlka og dreg ályktun af málspeki Wittgenstein á þá leið að Descartes gæti aldrei hafa hugsað þetta nema vegna tungumáls, sem er í eðli sínu sameiginlegt, samskiptatæki, og þess vegna hefði hann betur átt að segja: ég tala, þess vegna eru aðrir.

Nú hef ég notað langan tíma í að reyna að setja fram eitthvað af því sem ég reyndi að setja fram í fyrri færslu dagsins með ó-málfræðilegum hætti, án þess að fara alla leið með setningar, án þess að útskýra nægilega vel, án þess að huga að uppbyggingu, þræði, skýrleika. Við þetta hefur hugsun mín breyst. Þessi færsla segir ekki það sama og hin fyrri. Eða – ekki fyrir mig. Kannski sjá sumir lesendur skyldleikann, aðrir ekki. Það veltur á ýmsu. Sumum fannst ef til vill nóg að lesa hina fyrri, gátu jafnvel tengt við eitthvað sem alls ekki er hér. Öðrum finnst þessi skiljanlegri, finnst þeir núna vita meira hvað ég var að meina.

 

Þú þarft enga málfræði

Í dag vildi ég vera málfræðingur. Vildi hafa lagt það fyrir mig. Fyrir mér. Wittgenstein in a box. Functional linguistics (gúgla). Að það eru svo margar leiðir til að tjá sig. Að fólk skilur þrátt fyrir enga málfræði. Litla. Að formleg lýsing er alltaf röng og punkturinn er (a) aftast og (b) aðal málið. Það er, hvað ég vil gera með orðunum. Hvað þú vilt gera. Hvað allir reyna að gera með orðunum, meðvitað og ómeðvitað. Alltaf margir merkingarmöguleikar. Maður velur setningar ekki, þær koma bara út, og ég túlka þær jafnóðum og þeir sem hlusta, sá sem hlustar. Og ég finn að það sem kemur út er margrætt, viljandi margrætt. Viljandi óljóst, viljandi reyni ég að veita margar leiðir til túlkunar. Allt eftir því hvað sá sem tekur við kann að vita og gruna.

Auðveldara að lesa texta sem er í pörtum, styttri línur. Ég vildi lesa skáldsögu. Eina í einu. Vandamálið er núna: eitt í einu, annað er ofhlæði, ofhlað. Yfirþyrmandi, of, lamandi. Ég lamast alltaf við tölvuskjáinn. Ekki bókstaflega. Vildi samt fagna netinu. Internetinu kynntist ég um tvítugt. En internetið núna er ekki internetið þá, gjörólíkir heimar. Ég fagna þessari sprengju upplýsinga og tjáningar. Unglingar með myndasíður, gif-myndir, hreyfimyndir. Textatengsl í veldisvexti. Ekki eins og augliti til auglitis. Ekki eins og að vera með líkama. Ekki tónfall og svipir til að tengja við, álykta út frá. Annað. En samt. Tungumálið, eða ritað mál er stundum of hægt og of einvítt. Maður þyrfti að geta sagt fleiri hluti í einu.

Mig langaði að kynna svo margt sem ég sé, sem ég les og lít yfir og gleymi strax. Blogg eftir blogg, víxlvísanir, tumblr, facebook, fréttir, youtube. Tengslamyndun. Ég ímynda mér að ég skrifi núna eins og Ólafur Stefánsson handboltakappi. Kannski vill hann segja svona mikið. Tilraun í skilningi. Hvað færðu út úr þessu kæri lesandi. Er þetta ekki skýrt. Vantar málsnið? Skýrari línur. Merking felst í notkun. Merking óhugsandi án fleiri. Mál er samskipti. Sam: ekki einn. Ekki ég hugsa þess vegna er ég til, heldur ég er vegna þess að við erum.

Pipra texta. Þið skiljið ef þið viljið. Erfiðara en sígild rit? Skilningur og þá henda málfræðinni á brennu. Tilbúið, tilgert. Allskonar smáorð. Til að stilla setninguna af, til að hægja á. Ef til vill er nauðsynlegt að fylla setningar af smáorðum eins og fallstýrandi samtengingum. Finnst þér (mér) auðveldara að skilja klassískan texta? Þar sem merkingin virðist aðeins ein og höfundur veit nákvæmlega hvað hann vill segja og hvernig. Höfundur beri þar með virðingu fyrir hefðum og venjum og smekk. Víst að búðin opnaði fór ég erlendis. Innan gæsalappa. Hvernig á ég að skilja þessa setningu? Mér skilst að setning þýði ekki lengur setning heldur málsgrein. Eða minna. Ég kann þetta ekki en myndi fara á netið og gúgla að þörf. Til að viðhalda blekkingu um vitræna stöðu.

Imma read you. Hvað þýðir þetta? Hefur enhvern tilgang að ræða hvað þessi orð þýða „í raun og veru“. Ég les þig eins og opna bók. Eins og lélegt klámblað. Eins og bækling frá Vottunum. Ég ætla að fylla þig af þekkingu, ég ætla að kenna þér lexíu. Ég er að lesa þig.