Kúlur

Ég er að kenna hluta af námskeiði þar sem fjallað er um forritun og stærðfræði. Við notum Processing og OpenProcessing og ég sé að ég get greypt lítil forrit inn á bloggið. Hér var ég að reyna að hafa gluggann nógu lítinn til þess að farsímar gætu birt hann allan. Forritið er hermun á „kúlum“ sem hreyfast viðnámslaust gegnum hver aðra á jöfnum hraða en reka sig á ytri veggina og snúa þá við. Ég var eitthvað að fikta í litunum til að fá út eitthvað auka skemmtilegt fyrir augað. Mér finnst reyndar áhugavert hvernig útkoman er blanda af skipulagi og kaos. Í byrjun er mjög skýrt mynstur en svo verður erfiðara að sjá það. Samt er eins og það sé alltaf einhver regluleiki þarna.

Sýn ríkis og reiknirita

Ég setti mér ekki áramótaheiti um lestur tiltekinna fjölda bóka en ég hafði samt í huga að reyna að lesa einhverjar bækur á árinu og halda utan um þær. En hvað er það að lesa bók? Kannski er óþarfi að hugsa of mikið um lestur á skáldskap, ég get lesið hann mér til ánægju án þess að leggja í greiningarvinnu. En hvað með fræðibækur eða hálf-alþýðlegar fræðilegar bækur? Þarf ég ekki að skrifa eitthvað, hugsa eitthvað, draga saman, vinna úr, áður en ég gleymi öllu? Er hægt að hafa lesið bók og samt hraðlesið eða hoppað yfir einhverja kafla?

Í Seeing like a State fjallar höfundurinn James C. Scott um það hvernig skipuleg skráning á flóknum veruleika gegnum staðlaðar, abstrakt mælistærðir og hugtök hefur áhrif á veruleikann. Hann segir að með því að binda líf og starfsemi fólks í slíkan búning fái stjórnendur yfirsýn og tök á lífi og starfsemi fólks. Hann rekur margar dæmisögur til þess að varpa ljósi á þetta:

  • Ríkið staðlaði mælieiningar fyrir lengdir, þyngdir og verðmæti til þess að það gæti lagt skatta á eignir og viðskipti. Ef fólk notar ólík viðmið er allt of auðvelt að svindla. Og öll skráning og utanumhald upplýsinga, og þar með áætlanagerð verður mjög erfið.
  • Ríkið festi eiginnöfn þegnanna til þess að geta talið þá, haldið skrá um þá (til dæmis um herþjónustu, eignir, dóma og svo framvegis). Ég hafði aldrei áður hugsað um þetta, að lókal nafnasiðir kröfðust þess ekki að ein manneskja hefði eitt opinbert nafn.
  • Borgarskipulag fyrri tíðar var svo kaótískt að margskonar stjórnun var mjög erfið. Heimilisföng með tilteknu götuheiti og húsnúmeri eftir einhverju kerfi er seinni tíma uppfinning sem gerir borgirnar læsilegri og sýnilegri.
  • Það kerfi að sérhver landspilda sé nákvæmlega afmörkuð og með skilgreindu eignarhaldi er líka nýrri tíma uppfinning, nauðsynleg fyrir gangvirki kapítalismans, eignaskráningu, skatta, úrskurði dómstóla og svo framvegis. Höfundurinn tekur dæmi um þetta hafi alls ekki verið svona heldur hafi stór hluti lands verið almenningur en einnig hafi verið ýmis önnur eignarform þar sem fjölskyldur eða þorp skiptu með sér landi en þannig að mörkin hafi verið fljótandi og ráðist af ýmsu öðru en landmælingum og flatarmáli.

Meginboðskapurinn er að þegar saman fari hámódernísk hugmyndafræði (einhvers konar vísindatrú), ofurvald stjórnenda og veiklaður almenningur, þá sé hætta á því að valdið fari að móta veruleikann eftir þessum mælistærðum og kategoríum: reisa nýjar borgir frá grunni samkvæmt því skipulagi sem er auðveldast að skrá og stjórna og skipuleggja landbúnað upp á nýtt. Allt út frá því sem lítur „best“ út á korti, með beinum línum og skýrum kerfum, allt samræmt svo það sé auðveldast að reikna í Excel. Þetta leiði hins vegar stundum til mikilla hörmunga vegna þess að abstrakt skipulag tekur ekki tillit til flókins veruleika. Þannig hafi til dæmis tilraunir til að endurskipuleggja landbúnað með þessum hætti leitt til hungursneyða.

Ástæðan fyrir því að ég ákvað að lesa þessa bók var twitter færsla þar sem fólki í gagnavísindum (data science) var bent á að lesa þessa bók, í viðvörunarskyni. Bókin er mjög viðeigandi í því samhengi vegna þess að hún beinir athyglinni að því að þegar gögnum er safnað þá eru þau alltaf abstrakt, þau eru ekki veruleikinn sjálfur, heldur einföldun. Fólk er til dæmis flokkað eftir einhverjum viðmiðum (litur, uppruni, tekjur, aldur, kyn, …). Þegar kerfi og reiknilíkön eru smíðuð vinna þau út frá slíkum einföldunum og þegar þau eru svo notuð til þess að taka ákvarðanir þá eru þau að móta veruleikann eftir þessum tilteknu einföldunum. Það hvernig þessir flokkar eru skilgreindir er í raun hápólitísk ákvörðun, en þetta er oft falið inni í reikniritum (algóritmum) sem fá skilja. Þannig er um að ræða beina tengingu við aðra gagnrýna umfjöllun um „vald reiknirita“ svo sem eins og í bók Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction og bók Hannah Fry, Hello World. Í þessum bókum er til dæmis fjallað um og gagnrýnt það hvernig reiknirit hafa verið notuð til að ákvarða hvort fólk fær lán, ákvarða þyngd refsinga í dómskerfi, hvaða auglýsingar það sér á netinu og til að spá fyrir um glæpi (hvar og hvenær þeir gerist), svo fátt eitt sé nefnt.

Það sem ég er að velta fyrir mér er til dæmis hvort og í hvaða mæli stærðfræðinám geti gert fólk meðvitað og gagnrýnið á vald reikniritanna og þeirra stærðfræðilegu líkana sam hafa mikil áhrif á samfélagið. Í einni fræðigrein stendur til dæmis

A mathematically literate adult should be aware of the danger of the substitution of political, philosophical, social and juridical arguments by numerical arguments that rely on complicated measures. 

Jablonka E. (2003) Mathematical Literacy. Í Bishop A.J., Clements M.A., Keitel C., Kilpatrick J., Leung F.K.S. (ritstj) Second International Handbook of Mathematics Education.

Alltaf þegar ég hugsa um þetta finnst mér eins og þetta gæti verið óraunhæft markmið. Reikniritin eru flókin og á hvaða plani getur almenningur skilið þau? Er hægt að fjalla um þau almennt þannig að gagn sé að, en án þess að farið sé út í línulega algebru, gagnaskipan í tölvum, tölfræðiforritun og svo framvegis?

Tilraun

Tilraunin er útflutningur á OpenProcessing skissu. Hún er inngreypt (embedded) með því að afrita til þess gerðan texta sem birtist í útflutningsræmu sem tilheyrir skissunni í OpenProcessing og líma í WordPress kerfið í kóðunarham. Ég skrifa þetta hér til þess að geta rifjað þetta upp, ég er orðinn nógu gamall til þess að vita að ég þarf að skrifa hluti niður í nokkrum smáatriðum og get ekki treyst á minni eða að ég geti skilið mjög knappar lýsingar sjálfs mín þegar frá líður.

Sokkar í skúffu

Það gæti verið hægt að kenna heilt námskeið í stærðfræði, eingöngu með því að fjalla um spurningar um sokka í skúffu. Á íslensku er til dæmis vinsælt að kynna skúffuregluna (sem er á ensku oftar kölluð „the pigeon hole principle“) með því að spyrja spurninga eins og:

Þú ferð á fætur í niðamyrkri og ljósaperan er sprungin. Í skápnum þínum eru bæði svartir og rauðir sokkar. Hvað þarftu að taka marga sokka úr skápnum til að vera viss um að ná í par af samlitum sokkum?

Hér er önnur spurning, sem á yfirborðinu er ekki ósvipuð:

Í skúffu eru svartir og rauðir sokkar. Ef tveir sokkar eru valdir af handahófi úr skúffunni eru helmings líkindi á að báðir séu rauðir. Hver er minnsti mögulegi fjöldi sokka í skúffunni?

Hér verða auðvitað ekki birtar lausnir á þessum spurningum.

Að kenna hverjum sem er hvað sem er, með leyfi

Eru til aðferðir til þess að kenna hverjum sem er hvað sem er? Er hægt að kenna fólki almenna hæfni? Í bók sinni Classroom Discourse and the Space of Learning svara Marton og Tsui þessum spurningum neitandi. Þeir telja þetta tálsýnir um kennslu.

Fyrri tálsýnina, sem felur í sér að hægt sé að beita almennum kennsluaðferðum til þess að kenna hvaða efni sem er, telja höfundar að sé nokkuð áberandi meðal menntaspekinga og menntunarfræðinga nútímans. Samkvæmt þeirri hugmynd dugi kennurum að læra almenna kennslufræði sem síðan megi beita á hvaða inntak sem er. Í áðurnefndri bók Marton og Tsui er mikið lagt í að sýna fram á þetta sé ranghugmynd vegna þess að sérhvert inntak kalli á sína sérstöku nálgun. Það sé til dæmis gerólíkt að kenna barni að lesa og að kenna unglingi að leysa jöfnur. Þess vegna þurfi að hugsa og skipuleggja kennslu mjög náið út frá námsefninu sjálfu.

Seinni tálsýnin er að það sé mögulegt að kenna fólki að læra, hugsa, vinna saman, tjá sig, sveigjanleika, sköpun, gagnrýna hugsun og svo framvegis — án sérstaks þekkingarsamhengis heldur bara almennt og yfirleitt. Í dag er þessi hugmynd um almenna hæfni stundum sett í búning „21. aldar hæfni“. En þetta gengur ekki upp. Það krefst ólíkra og jafnvel óskyldra aðferða og athafna að læra ólík fræði; að hugsa eins og líffræðingur eða hugsa eins og stærðfræðingur; tjá sig í ljóðum eða tjá sig með blaðagrein; skapa nýjan tölvuleik eða nýja tónlist; hugsa gagnrýnið um læknisfræði eða hugsa gagnrýnið um fjölmiðla. Það er ekki hægt að hugsa (vel, skapandi, gagnrýnið) nema að hugsa um eitthvað, og út frá einhverjum forsendum. Og yfirfærsla milli ólíkra sviða er oft takmörkuð. Það sýna fjölmörg dæmi um sérfræðinga á einu sviði sem tjá sig af litlu viti um annað svið.

Nú er alls ekki svo að allir eða flestir menntunarfræðingar séu haldnir þessum hugmyndum. Margir gera sér grein fyrir mikilvægi kennslufræðilegrar þekkingar á ólíkum greinum og því að efnislegt inntak skiptir miklu máli. Ég held samt að þessar hugmyndir séu víða á kreiki, til dæmis meðal talsfólks „eins leyfisbréfs“ kennara. Sumir í þeim hópi virðast telja að menntaður kennari geti kennt hverjum sem er hvað sem er.

Örlítið um sögu tölvutækni í stærðfræðimenntun

Langt er síðan frumkvöðlar og fræðimenn í stærðfræðimenntun fóru að binda vonir við að tölvur myndu umbylta stærðfræðinámi og -kennslu. Einn af þekktustu talsmönnum þessa er bandaríkjamaðurinn Seymour Papert sem skrifaði eins konar „manífestó“ fyrir slíkar hugmyndir í bókinni Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas (1980). En þrátt fyrir sannfærandi rök og áratuga rannsóknir sem sýna mikla möguleika til þess að gera stærðfræðinám miklu merkingarfyllra og öflugra hefur tækni lítil áhrif haft á stærðfræðikennslu í skólum. Tölvur hafa lítið verið notaðar, og þegar þær eru notaðar er það yfirleitt til þess að endurgera hefðbundið pappírsnámsefni á tölvuskjá en ekki til þess að styðja nýja námshætti eða aðra nálgun á stærðfræði. Kennarar og yfirvöld ímynda sér er yfirleitt að tæknin muni á einhvern hátt gera hefðbundið nám „skilvirkara“, gera það hraðara, markvissara, þægilegra til eftirlits, og hugsanlega „fjölbreyttara“ en þeir nota hana ekki til að breyta stærðfræðinámi eða -kennslu í neinum aðalatriðum. Þetta er staðreynd (staðfest í mörgum rannsóknum um allan heim) þrátt fyrir að í námskrám sé oft og iðulega kveðið á um notkun tækni í stærðfræðinámi. Og því er við að bæta að notkun á tækni í skólastarfi sýnir (samkvæmt stórum safngreiningum (meta-analysis)) engar marktækar breytingar á neinum mældum árangri.

Ríkulegir og dásamlegir möguleikar tölvutækni hafa í raun rekist harkalega á við hefðbundið vinnulag og menningu í skólastofum.

Í því samhengi er áhugavert að velta því fyrir sér hvernig menntahugmyndir umbreytast á leið sinni frá fræðimönnum eða hugsuðum inn í skólana, þannig að það sem átti að vera tæki til könnnar og sköpunar „steingervist“ yfir í „hlut til að kenna“. Skýringarnar á þessu eru flóknar og margslungnar og tengjast tækni, stefnumótun, fjármagni, þekkingu kennara, skólamenningu, prófum og mörgu öðru. Eitt af því sem iðulega gerist er að þeir sem eru í stefnumótun (yfirvöld) fara fram á rannsóknir til að „meta árangur“ af nýjungum. Vandinn er þá við hvað á að bera árangurinn saman. Því eins og Papert benti á:

when the attempt is to generate an exploratory educational environment, where everything regarding teaching and learning process is different, short-term psychometric control-and-experiment-group methodology measures very little of what is actually important

(Papert, 1987)

Mikilvægt er að hafa í huga að einhver tiltekin tækni (eins og tiltekið tölvuforrit) ákvarðar ekki notkun þess eða merkingu. Það er hægt að nota tæknina á „yfirborðskenndan hátt“, til dæmis sem rafræna útgáfu af bókum, reiknivél eða ritvél. Það er hægt að nota hana til hugsunarlausra athafna, samkvæmt þröngum fyrirmælum. Hún getur leitt af sér misskilning og ranghugmyndir. En það er líka hægt að nota hana til að styðja við ígrundun, djúp samskipti og sköpun á merkingarfullum hlutum. Til verða tvíhliða tengsl: annars vegar hefur notandi (nemandi, kennari, …) mótandi áhrif á tækið (tölvuna, forritið) því þekking hans og hugmyndir ráða því hvað hann getur gert við það (e. instrumentalization) og hins vegar hafa notkunarmöguleikar og takmarkanir tækisins áhrif á lausnarleiðir og þær hugmyndir sem eru að verða til hjá notandanum (e. instrumentation). Í stuttu máli: notandinn mótar tækið og tækið mótar notandann.

Samkvæmt skilningi stærðfræðimenntunar (sem fræðasvið) hefur tölvutækni ekki verið notuð til umtalsverðra breytinga á stærðfræðinámi og -kennslu í skólum. Möguleikarnir virðast vera til staðar en flóknar ástæður gera að verkum að þrátt fyrir 40-50 ára kynningu, rannsóknir og átök hefur í raun „ekkert breyst“ (nema mjög yfirborðslega).

Jafnfirða punktar

Til þess að stærðfræðiverkefni skapi frjóar rökræður nemenda á milli þarf að kvikna sjálfsprottin þörf fyrir slíkar rökræður. Til að stærðfræðilegt nám fari fram verður rökræðan að þróast frá hinu „sjónræna“ og að stærðfræðilegum afleiðslurökum, rök til þess að útskýra og staðfesta tilgátur sem vakna við það að leika sér, prófa og horfa á það sem gerist.

Í einu verkefni sem sagt er frá í grein Prusak, Hershkowitz og Schwarz (2012) eru nemendur beðnir að finna miðasölu stað í rétthyrningslaga skemmtigarði þar sem jafn langt er í alla hornpunkta garðsins (vegna þess að þar eru tækin staðsett).

Mynd af skemmtigarðinum úr grein

Hægt er að fást við verkefnið á mismunandi vegu, bæði með hreinni rúmfræði og með því að nýta hnitakerfi. Ég tók út „raunverulega samhengið“ (sem er dálítið gervilegt, þó það sé ekki mjög langt frá því að geta verið „raunverulega raunverulegt“) í GeoGebru-útgáfu af verkefninu sem ég setti inn á GeoGebruvefinn:

Ég veit ekki hver er besta spurningin til að byrja á: „hvar er rauði punkturinn“, „hvernig á að reikna út staðsetninguna á rauða punktinum“, „gætirðu gefið uppskrift að því hvernig hægt er að teikna rauða punktinn á nákvæmlega réttum stað“ eða annað.

Vitnað í: 

Prusak, Hershkowitz og Schwarz, 2012. From visual reasoning to logical necessity through argumentative design

Vita nemendur hvernig þeim hentar best að læra?

Menntavísindi og kennslufræði eru ekki raunvísindi og það er ekki hægt að setja fram algild lögmál á borð við náttúrulögmál í eðlisfræði. Það sem er algerlega öruggt er ekki sérlega áhugavert. Kennsla og nám eiga sér stað í samfélagi og tengslum og áhrifaþættirnir eru ótal margir og þar á meðal eru tilfinningar einstaklinga, uppbygging samfélaga, félagslegar aðstæður, líkamlegur mismunur, bara til að nefna örfáa hluti. Ofan á þetta leggst svo að fólk greinir á um það hver séu endanleg markmið menntunar: hvað viljum við fyrir börn, unglinga og fullorðið fólk sem er í skóla? Hvers konar samfélag viljum við byggja, hvaða eiginleika viljum við rækta? Allt þetta skiptir máli þegar rætt er um það sem kunna að virðast einfaldar spurningar eins og „hvernig er best að kenna stærðfræði?“

Engu að síður er til margskonar og margbrotin þekking á þessum málefnum. En nú langaði mig bara til að minnast á eitt og gleyma á meðan hinum stóru samhengjum. Hugsum okkur dæmigerðan nemanda í „venjulegum skóla“. Margir slíkir nemendur (en ekki allir) temja sér ýmsa hegðun og skoðanir sem eru ekki gagnlegar fyrir nám. (Það sama má ef til vill segja um kennara.) Hér eru nokkrar:

  • Að nám felist aðallega í því að taka við upplýsingum til þess að skila síðar í sem óbreyttustu formi (td á prófi). [Nám í samræmi við metnaðarfull markmið felur í sér skilning og að geta beitt þekkingu við nýjar aðstæður.]
  • Að það skili árangri að endurlesa námsefni fyrir próf, jafnvel aftur og aftur. [Þetta getur skilað skammtímaárangri á einföldum þekkingarprófum en virkar ekki til lengri tíma eða fyrir próf sem reyna á beitingu eða skilning.]
  • Að maður viti vel sjálfur hvernig manni gengur að læra tiltekið efni eða námsgrein. [Hver kannast ekki við að „skilja það þegar kennarinn sagði það í tímanum“ en geta svo ekki leyst verkefni á eigin spýtur þegar á reynir?]
  • Að það sé mjög mikilvægt að hlýða á fyrirlestra og ná að skrá hjá sér sem mest af því sem kemur fram í fyrirlestrinum.

Fyrsta atriðið er kannski dálítið margbrotið, því það er bæði um markmið (jafnvel gildi) og leiðir. Seinni þrjú atriðin eru einfaldari og margar rannsóknir styðja það að þetta séu ógagnleg viðhorf. Mjög sennilegt er að of lítið sé gert til þess að kenna nemendum að læra (og mögulega er þessi þekking ekki heldur nógu útbreidd meðal kennara.) Svo svarið við spurningunni í titlinum er nei: nemendur vita yfirleitt ekki hvernig þeim sjálfum hentar best að læra, að minnsta kosti ekki nema að þeir ígrundi það mjög vandlega og rannsaki sína eigin námshætti og viðhorf í ljósi þeirrar þekkingar sem til er á þessum hutum.